Considere um equipamento cujo sistema de ponto flutuante normalizado é
SPF(2,10,-15,15),
de base 2, 10 dígitos na mantissa, menor expoente -15 e maior expoente 15. Para este sistema:
f) Quantos são os exatamente representáveis positivos?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado diz:
Temos um sistema de ponto flutuante normalizado SPF(2,10,−15,15).
Isso significa:
  • Base .
  • Mantissa tem 10 dígitos binários (ou seja, 1 dígito implícito “1” + 9 dígitos de fração).
  • O expoente varia de até .
O que a gente quer achar: “quantos números positivos são exatamente representáveis” nesse sistema.
Para isso, vamos precisar entender:
  1. Quantas mantissas normalizadas diferentes eu posso formar?
  2. Quantos expoentes eu posso usar?
  3. Multiplicar essas duas quantidades dá o total de números positivos (excluindo zero).

Passo 2

Teoria rapidinha:
Num ponto flutuante normalizado em base 2, a mantissa sempre tem o formato
m = 1b1 b2 dots bt-1,
onde #mantissas = 2^,t-1 = 2^9 é o número total de dígitos na mantissa. Como o primeiro dígito é sempre “1”, só podemos variar os bits seguintes (cada é 0 ou 1).
No nosso caso, , então temos bits de fração livres. Logo, o número de combinações de mantissa é

Passo 3

Agora o expoente vai de #expoentes = (+15) - (-15) + 1 = 15 + 15 + 1 = 31 até . Para contar quantos valores isso dá, a gente faz

Passo 4

Como cada combo de mantissa pode casar com cada expoente, o total de números POSITIVOS (exceto zero) é:
#positivos ;=; #mantissastimes #expoentes ;=; 2^9 times 31

Passo 5

Só calcular:
2^9 = 512 Longrightarrow 512 times 31 = 15872

Resposta

15872 números positivos exatamente representáveis.

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