Considere uma estrutura governada por
m ddotx+c dotx+k x=f(x)
Obtenha x(t) numericamente quando m=5, k=60, c=0,6 m+0,4 k e f(x)=x. Adote De =0 e dotx(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos uma equação de movimento
m,ddot x + c,dot x + k,x = f(x)
com
  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Os dados iniciais são , e .
Conteúdo da matéria: resolução numérica de EDOs de segunda ordem usando o método de Euler explícito.
O que precisamos:
  1. calcular ,
  2. transformar a equação em um sistema de primeiras ordens,
  3. aplicar o método de Euler, passo a passo, sem pular etapas.

Passo 2

Primeiro calculamos c = 0,6,m + 0,4,k = 0,6cdot 5 + 0,4cdot 60 = 3 + 24 = 27 :
5,ddot x + 27,dot x + 60,x = x Longrightarrow 5,ddot x + 27,dot x + 59,x = 0
A equação fica
v = dot x, a = ddot x = -27,v -59,x5
Agora definimos as variáveis de estado:

Passo 3

Método de Euler explícito (passo xn+1 = xn + De):
A ideia é, a cada instante , usar para calcular a aceleração e daí atualizar e .

Passo 4

Vamos calcular as primeiras iterações até t0=0, x0=0, v0=1, a0=-27cdot1 -59cdot05=-275=-5,4 .
Dados iniciais ( v1 = 1 + 0,1cdot(-5,4) = 0,46, x1 = 0 + 0,1cdot1 = 0,1 ):
a1 = -27cdot0,46 -59cdot0,15 = -3,664, v2 = 0,46 + 0,1cdot(-3,664) = 0,0936, x2 = 0,1 + 0,1cdot0,46 = 0,146
Iterando com a2 = -27cdot0,0936 -59cdot0,1465 = -2,22824, v3 = 0,0936 + 0,1cdot(-2,22824) = -0,129224, x3 = 0,146 + 0,1cdot0,0936 = 0,15536 :
n=0→1:
a3 = -27,(-0,129224) -59cdot0,155365 = -1,13483, v4 = -0,129224 + 0,1cdot(-1,13483) = -0,242707, x4 = 0,15536 + 0,1,(-0,129224) = 0,1424376
n=1→2:
a4 = -27,(-0,242707) -59cdot0,14243765 = -0,3705422, v5 = -0,242707 + 0,1cdot(-0,3705422) = -0,2797612, x5 = 0,1424376 + 0,1,(-0,242707) = 0,1181669
n=2→3:
n=3→4:
n=4→5:

Resposta

A evolução numérica pelo método de Euler explícito, com , é aproximadamente:
t  x(t)
0,0 0,0000
0,1 0,1000
0,2 0,1460
0,3 0,1554
0,4 0,1424
0,5 0,1182

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