Considere a seguinte tabela de dados:
c|ccccc x & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1,0 hline f(x) & 2,415 & 2,637 & 2,907 & 3,193 & 3,381
utilize as fórmulas apropriadas para aproximar f^prime(0,4), f^prime prime(0,4) e f^prime prime prime(0,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos deu uma tabela de valores de uma função em pontos equally spaced (de 0,2 em 0,2):
x: 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0
f(x): 2,415 | 2,637 | 2,907 | 3,193 | 3,381
Conteúdo: derivadas numéricas por diferenças finitas.
O que precisamos:
  • escolher fórmulas de diferenças (central ou forward) para aproximar , e .
  • calcular usando o “passo” .

Passo 2

Queremos f'(x0)approx f(x0+h)-f(x0-h)2h . A fórmula de diferença central de segunda ordem é
f'(0,4)approx f(0,6)-f(0,2)2cdot0,2 =2,907-2,4150,4 =0,4920,4 =1,23
Aqui e . Logo

Passo 3

Agora f''(x0)approx f(x0+h)-2,f(x0)+f(x0-h)h^2 . A fórmula de diferença central de segunda derivada (ordem f''(0,4)approx 2,907 -2cdot2,637 +2,415(0,2)^2 =2,907 -5,274 +2,4150,04 =0,0480,04 =1,20 ) é
Substituindo , :

Passo 4

Por fim De. Como não temos f'''(x0)approxDe, usamos diferença forward de terceira diferença:
f'''(0,4)approx f(1,0)-3f(0,8)+3f(0,6)-f(0,4)(0,2)^3 =3,381-3cdot3,193+3cdot2,907-2,6370,008
e sabe-se que f'''(0,4)approx-0,1140,008=-14,25 . Então
Com , :
Calculando o numerador:
.
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Resposta

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