Quando há um escoamento sobre um corpo forma-se sobre a sua superfície uma fina camada denominada de camada limite. Esta pode ser laminar, transiente ou turbulenta. No caso de uma superfície curva a velocidade U é relacionada com o gradiente de pressão através da equação de Bernoulli.
d Pd x=-rho U d Ud x
Isto implica na forte influência dos gradientes de pressão na transição da camada limite. Deseja-se determinar U(x) numericamente para a seguinte situação:
rho & =1,23 0 &

Passo 1

Então, a questão tá dizendo que em volta de um corpo que tem um escoamento aparece uma “camada limite” e que, se a superfície é curva, a pressão ao longo do comprimento x e a velocidade U(x) se relacionam pela equação de Bernoulli no formato diferencial:
dPdx = -rho,U,dUdx
Eles dão:
• densidade ρ = 1,23 kg/m³
• x varia de 0 a 1
.
Queremos achar U(x) resolvendo numericamente (ou analiticamente) essa EDO. Vamos precisar de cálculo de ODEs, separação de variáveis e condições de contorno (tipo U(0)).

Passo 2

Primeiro, escrevemos o ODE substituindo 1 + x ;=; -,rho,U,dUdx :
rho,U,dUdx = -,(1 + x) Longrightarrow dUdx = -1+xrho,U
Reorganizando para deixar isolado:

Passo 3

Agora a gente separa as variáveis U e x:
U,dU = -1+xrho,dx
Integramos dos dois lados. Do lado de U: integral U,dU = -1rhointegral (1+x),dx Longrightarrow U^22 = -1rhol(x + tfracx^22r) + C, .
Do lado de x: . Então:
onde C é constante de integração.

Passo 4

Precisamos de uma condição de contorno para achar C. Normalmente se supõe algo como U0^22 = -1rhol(0 + 0r) + C ;Longrightarrow; C = U0^22 . Substituindo x=0:
U^22 = -1rhol(x + tfracx^22r) + U0^22
Voltando na fórmula de U²:
U^2 = U0^2 ;-;2rhol(x + tfracx^22r)
Multiplicando tudo por 2:

Resposta

Portanto, a solução geral para U(x) é
boxed% U(x) = raiz,U0^2 ;-;21,23l(x + tfracx^22r),,,
onde U(x) = raiz1 ;-;1,626,(x + 0,5x^2) é a velocidade em x=0. Se, por exemplo, m/s, fica

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