Seja
representado num sistema com
dígitos.
(a) Determine o valor de
por arredondamento simétrico
(b) Verifique se
(c) Calcule o erro absoluto cometido
(a) Determine o valor de
(b) Verifique se
(c) Calcule o erro absoluto cometido
Passo 1
O enunciado dá o número
e pede três coisas:
(a) determinar obtido por arredondamento simétrico num sistema com
dígitos;
(b) verificar se (ou seja, verificar a desigualdade pedida para o erro relativo);
(c) calcular o erro absoluto cometido .
Informações relevants dadas: e
.
(a) determinar
(b) verificar se
(c) calcular o erro absoluto cometido
Informações relevants dadas:
Passo 2
Entendimento do arredondamento simétrico com
dígitos significativos:
- Temos a mantissa (parte significativa) de
igual a . - Os dígitos significativos, em sequência, são
. - Para manter
dígitos devemos conservar os três primeiros dígitos da mantissa ( ), e olhar o quarto dígito (o dígito seguinte) para decidir se incrementamos ou não o último dígito mantido. - Regra do arredondamento simétrico (arredondar para mais próximo): se o dígito seguinte for
incrementa-se o último dígito mantido; se for não incrementa-se.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso:
- Mantissa original:
. - Mantemos os três primeiros dígitos:
. - O dígito seguinte é
, que é menor que , portanto NÃO incrementamos o último dígito mantido.
Logo
Passo 4
Calcular o erro absoluto
:
- Primeiro calculamos a diferença na mantissa:
. - Multiplicando pelo fator
obtemos a diferença em valor real:
Portanto o erro absoluto cometido é
.
Passo 5
Calcular o erro relativo
(definição):
Substituindo os valores que temos:
Simplificando a fração:
Passo 6
Esclarecimento do limite teórico pedido:
- A desigualdade pedida é
- Para
temos
(Essa é a expressão usual do limite máximo do erro relativo ao arredondar para
dígitos: no pior caso o erro relativo fica no máximo meio da unidade na última casa, o que leva a
.)
Passo 7
Comparação numérica e conclusão:
- Calculamos
. - O limite é
.
Como
a desigualdade pedida é satisfeita.
Resposta
(a)
(b) Sim,
(c)
(b) Sim,
(c)