Seja x=0,6584 \times 10^{3} representado num sistema com t=3 dígitos.
(a) Determine o valor de \bar{x} por arredondamento simétrico
(b) Verifique se \left|E R_{x}\right|<\frac{1}{2} \times 10^{-t+1}
(c) Calcule o erro absoluto cometido

Passo 1

O enunciado dá o número \,x=0,6584\times10^{3}\, e pede três coisas:
(a) determinar \bar{x} obtido por arredondamento simétrico num sistema com t=3 dígitos;
(b) verificar se \left|E R_{x}\right|<\frac{1}{2}\times10^{-t+1} (ou seja, verificar a desigualdade pedida para o erro relativo);
(c) calcular o erro absoluto cometido |x-\bar{x}|.
Informações relevants dadas: \,x=0,6584\times10^{3}\, e t=3.

Passo 2

Entendimento do arredondamento simétrico com t=3 dígitos significativos:
  • Temos a mantissa (parte significativa) de x igual a 0,6584.
  • Os dígitos significativos, em sequência, são 6,5,8,4.
  • Para manter t=3 dígitos devemos conservar os três primeiros dígitos da mantissa ( 6,5,8), e olhar o quarto dígito (o dígito seguinte) para decidir se incrementamos ou não o último dígito mantido.
  • Regra do arredondamento simétrico (arredondar para mais próximo): se o dígito seguinte for \ge 5 incrementa-se o último dígito mantido; se for <5 não incrementa-se.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
  • Mantissa original: 0,6584.
  • Mantemos os três primeiros dígitos: 0,658.
  • O dígito seguinte é 4, que é menor que 5, portanto NÃO incrementamos o último dígito mantido.
    Logo
\bar{x}=0,658\times10^{3}.

Passo 4

Calcular o erro absoluto |x-\bar{x}|:
  • Primeiro calculamos a diferença na mantissa: 0,6584-0,658=0,0004.
  • Multiplicando pelo fator 10^{3} obtemos a diferença em valor real:
|x-\bar{x}|=0,0004\times10^{3}=0,4.
Portanto o erro absoluto cometido é 0,4.

Passo 5

Calcular o erro relativo \left|E R_{x}\right| (definição):
\left|E R_{x}\right|=\frac{|x-\bar{x}|}{|x|}.
Substituindo os valores que temos:
\left|E R_{x}\right|=\frac{0,4}{0,6584\times10^{3}}=\frac{0,4}{658,4}.
Simplificando a fração:
\frac{0,4}{658,4}=\frac{4}{6584}=\frac{1}{1646}\approx0,0006075.

Passo 6

Esclarecimento do limite teórico pedido:
  • A desigualdade pedida é
\left|E R_{x}\right|<\frac{1}{2}\times10^{-t+1}.
  • Para t=3 temos
\frac{1}{2}\times10^{-t+1}=\frac{1}{2}\times10^{-2}=0,005.
(Essa é a expressão usual do limite máximo do erro relativo ao arredondar para t dígitos: no pior caso o erro relativo fica no máximo meio da unidade na última casa, o que leva a \tfrac{1}{2}10^{1-t}.)

Passo 7

Comparação numérica e conclusão:
  • Calculamos \left|E R_{x}\right|\approx0,0006075.
  • O limite é 0,005.
    Como
0,0006075 < 0,005,
a desigualdade pedida é satisfeita.

Resposta

(a) \bar{x}=0,658\times10^{3}
(b) Sim, \left|E R_{x}\right|\approx0,0006075<0,005
(c) |x-\bar{x}|=0,4

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