Considere f tabelada abaixo
x 2 6 10
f(x) 2,9 8,4 22,1
Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.

Passo 1

O enunciado dá a função tabelada em três pontos e pede o polinômio interpolante de grau 2 encontrado resolvendo um sistema linear. As informações fornecidas são:
( x_1, f(x_1) ) = (2,\,2,9)
( x_2, f(x_2) ) = (6,\,8,4)
( x_3, f(x_3) ) = (10,\,22,1)
A pergunta é: determine o polinômio de grau 2 que passa por esses três pontos (ou seja, o polinômio quadrático interpolador) resolvendo um sistema linear para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Escolhemos a forma geral do polinômio de grau 2:
p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são os coeficientes desconhecidos que precisamos determinar. Aqui a é o coeficiente do termo quadrático, b do termo linear e c o termo constante.

Passo 3

Substituímos cada ponto na forma p(x)=ax^{2}+bx+c para obter um sistema linear em a, b, c.
Para x=2:
4a+2b+c=2,9
Para x=6:
36a+6b+c=8,4
Para x=10:
100a+10b+c=22,1

Passo 4

Vamos eliminar c subtraindo a primeira equação das outras duas.
Subtraindo a equação de x=2 da de x=6:
(36a-4a)+(6b-2b)+(c-c)=8,4-2,9
ou seja
32a+4b=5,5.
Dividindo por 4 para simplificar:
8a+b=1,375.
Subtraindo a equação de x=6 da de x=10:
(100a-36a)+(10b-6b)+(c-c)=22,1-8,4
ou seja
64a+4b=13,7.
Dividindo por 4:
16a+b=3,425.
Agora temos duas equações lineares apenas em a e b:
8a+b=1,375
16a+b=3,425

Passo 5

Subtraímos a primeira dessas duas equações da segunda para eliminar b:
(16a-8a)+(b-b)=3,425-1,375
ou seja
8a=2,05.
Logo
a=\frac{2,05}{8}=0,25625.

Passo 6

Com a encontrado, voltamos em \;8a+b=1,375; para obter b:
b=1,375-8a=1,375-8\cdot0,25625.
Calculando:
8\cdot0,25625=2,05,
portanto
b=1,375-2,05=-0,675.

Passo 7

Agora encontramos c usando a primeira equação 4a+2b+c=2,9:
c=2,9-4a-2b.
Calculando 4a e 2b:
4a=4\cdot0,25625=1,025,
2b=2\cdot(-0,675)=-1,35.
Assim
c=2,9-1,025-(-1,35)=2,9-1,025+1,35=3,225.

Passo 8

Escrevemos o polinômio interpolante com os coeficientes encontrados:
p(x)=0,25625x^{2}-0,675x+3,225.

Passo 9

(Facultativo, verificação rápida) Vamos verificar em x=6:
p(6)=0,25625\cdot36-0,675\cdot6+3,225=9,225-4,05+3,225=8,4,
que coincide com f(6)=8,4. A verificação confirma que os coeficientes estão corretos.

Resposta

p(x)=0,25625x^{2}-0,675x+3,225

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