Considere f tabelada abaixo
2
6
10
2,9
8,4
22,1
Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.
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2 | 6 | 10 |
|
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2,9 | 8,4 | 22,1 |
Passo 1
O enunciado dá a função tabelada em três pontos e pede o polinômio interpolante de grau 2 encontrado resolvendo um sistema linear. As informações fornecidas são:
A pergunta é: determine o polinômio de grau 2 que passa por esses três pontos (ou seja, o polinômio quadrático interpolador) resolvendo um sistema linear para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Escolhemos a forma geral do polinômio de grau 2:
onde
,
e
são os coeficientes desconhecidos que precisamos determinar. Aqui
é o coeficiente do termo quadrático,
do termo linear e
o termo constante.
Passo 3
Substituímos cada ponto na forma
para obter um sistema linear em
,
,
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Vamos eliminar
subtraindo a primeira equação das outras duas.
Subtraindo a equação de
da de
:
ou seja
Dividindo por
para simplificar:
Subtraindo a equação de
da de
:
ou seja
Dividindo por
:
Agora temos duas equações lineares apenas em
e
:
Passo 5
Subtraímos a primeira dessas duas equações da segunda para eliminar
:
ou seja
Logo
Passo 6
Com
encontrado, voltamos em
; para obter
:
Calculando:
portanto
Passo 7
Agora encontramos
usando a primeira equação
:
Calculando
e
:
Assim
Passo 8
Escrevemos o polinômio interpolante com os coeficientes encontrados:
Passo 9
(Facultativo, verificação rápida) Vamos verificar em
:
que coincide com
. A verificação confirma que os coeficientes estão corretos.