Considere f tabelada abaixo
1
5
11
1,8
6,9
25,2
Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.
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1 | 5 | 11 |
|
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1,8 | 6,9 | 25,2 |
Passo 1
O enunciado dá uma função
tabulada nos pontos abaixo e pede o polinômio interpolante de grau 2 obtido resolvendo um sistema linear:
Informações importantes que temos:
- Os pontos conhecidos são
, e . - Queremos um polinômio de grau 2 que passe exatamente por esses três pontos.
- O objetivo é montar e resolver o sistema linear para encontrar os coeficientes do polinômio.
Passo 2
Escolhemos o modelo geral do polinômio de grau 2:
onde
,
e
são os coeficientes desconhecidos que devemos determinar. Aqui:
-
é o coeficiente de , -
é o coeficiente de , -
é o termo constante.
A ideia é impor que
assuma os valores da tabela nos respectivos
, obtendo assim um sistema de três equações lineares em
.
Passo 3
Substituímos cada ponto na expressão
e obtemos o sistema:
Para
,
:
Para
,
:
Para
,
:
Esse é o sistema 3×3 que vamos resolver.
Passo 4
Para simplificar, vamos eliminar
subtraindo a primeira equação das outras duas.
Subtraindo a equação de
da de
:
o que dá
Subtraindo a equação de
da de
:
o que dá
Agora temos um sistema 2×2 em
e
.
Passo 5
Para tornar os números mais fáceis e, se quisermos, exatos, podemos trabalhar com frações. Observando os valores decimais:
As equações obtidas ficam (em frações):
e
Dividindo a primeira por
e a segunda por
para simplificar:
Agora subtraímos a primeira da segunda para eliminar
:
Calculando a diferença no lado direito (denominador comum
):
logo
Portanto
Em decimal isso é
(ou, no formato pedido,
que escrevemos como
).
Passo 6
Agora encontramos
substituindo
em
:
Calculando:
Em decimal,
(ou
usando vírgula como no enunciado).
Passo 7
Finalmente calculamos
usando a primeira equação
(lembre que
):
Colocando tudo em denominador
:
Em decimal
(ou
com vírgula).
Passo 8
Escrevendo o polinômio interpolante com os coeficientes encontrados:
Forma exata (frações):
Forma decimal (mesma coisa, só em decimal):
Se quiser, você pode verificar rapidamente substituindo
e confirmando que os valores coincidem com a tabela (é sempre uma boa prática checar).