Considere f tabelada abaixo
x 1 5 11
f(x) 1,8 6,9 25,2
Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.

Passo 1

O enunciado dá uma função f tabulada nos pontos abaixo e pede o polinômio interpolante de grau 2 obtido resolvendo um sistema linear:
\begin{array}{c|ccc} x & 1 & 5 & 11 \\\ \hline f(x) & 1,8 & 6,9 & 25,2 \end{array}
Informações importantes que temos:
  • Os pontos conhecidos são (1,\,1,8), (5,\,6,9) e (11,\,25,2).
  • Queremos um polinômio de grau 2 que passe exatamente por esses três pontos.
  • O objetivo é montar e resolver o sistema linear para encontrar os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Escolhemos o modelo geral do polinômio de grau 2:
p(x)=a x^{2}+b x+c,
onde a, b e c são os coeficientes desconhecidos que devemos determinar. Aqui:
  • a é o coeficiente de x^{2},
  • b é o coeficiente de x,
  • c é o termo constante.
A ideia é impor que p(x) assuma os valores da tabela nos respectivos x, obtendo assim um sistema de três equações lineares em a,b,c.

Passo 3

Substituímos cada ponto na expressão p(x)=a x^{2}+b x+c e obtemos o sistema:
Para x=1, p(1)=1,8:
a + b + c = 1,8.
Para x=5, p(5)=6,9:
25a + 5b + c = 6,9.
Para x=11, p(11)=25,2:
121a + 11b + c = 25,2.
Esse é o sistema 3×3 que vamos resolver.

Passo 4

Para simplificar, vamos eliminar c subtraindo a primeira equação das outras duas.
Subtraindo a equação de x=1 da de x=5:
(25a+5b+c) - (a+b+c) = 6,9 - 1,8
o que dá
24a + 4b = 5,1.
Subtraindo a equação de x=1 da de x=11:
(121a+11b+c) - (a+b+c) = 25,2 - 1,8
o que dá
120a + 10b = 23,4.
Agora temos um sistema 2×2 em a e b.

Passo 5

Para tornar os números mais fáceis e, se quisermos, exatos, podemos trabalhar com frações. Observando os valores decimais:
1,8=\tfrac{9}{5},\quad 6,9=\tfrac{69}{10},\quad 25,2=\tfrac{126}{5}.
As equações obtidas ficam (em frações):
24a+4b=\tfrac{51}{10}
e
120a+10b=\tfrac{117}{5}.
Dividindo a primeira por 4 e a segunda por 10 para simplificar:
6a + b = \tfrac{51}{40},
12a + b = \tfrac{117}{50}.
Agora subtraímos a primeira da segunda para eliminar b:
(12a+b)-(6a+b)=\tfrac{117}{50}-\tfrac{51}{40}.
Calculando a diferença no lado direito (denominador comum 200):
\tfrac{117}{50}=\tfrac{468}{200},\qquad \tfrac{51}{40}=\tfrac{255}{200},
logo
6a = \tfrac{468-255}{200} = \tfrac{213}{200}.
Portanto
a = \frac{213}{200\cdot 6} = \frac{213}{1200} = \frac{71}{400}.
Em decimal isso é a=0,1775 (ou, no formato pedido, a=0,1775 que escrevemos como 0,1775).

Passo 6

Agora encontramos b substituindo a em 6a+b=\tfrac{51}{40}:
b = \tfrac{51}{40} - 6\cdot\frac{71}{400}.
Calculando:
6\cdot\frac{71}{400}=\frac{426}{400}=\frac{213}{200},
\tfrac{51}{40}=\tfrac{255}{200},
b = \tfrac{255}{200}-\tfrac{213}{200}=\tfrac{42}{200}=\tfrac{21}{100}.
Em decimal, b=0,21 (ou 0,21 usando vírgula como no enunciado).

Passo 7

Finalmente calculamos c usando a primeira equação a+b+c=1,8 (lembre que 1,8=\tfrac{9}{5}):
c = \tfrac{9}{5} - a - b = \tfrac{9}{5} - \frac{71}{400} - \frac{21}{100}.
Colocando tudo em denominador 400:
\tfrac{9}{5}=\tfrac{720}{400},\quad \frac{21}{100}=\tfrac{84}{400},
c = \tfrac{720 - 71 - 84}{400} = \tfrac{565}{400} = \tfrac{113}{80}.
Em decimal c=1,4125 (ou 1,4125 com vírgula).

Passo 8

Escrevendo o polinômio interpolante com os coeficientes encontrados:
Forma exata (frações):
p(x)=\frac{71}{400}x^{2}+\frac{21}{100}x+\frac{113}{80}.
Forma decimal (mesma coisa, só em decimal):
p(x)=0,1775\,x^{2}+0,21\,x+1,4125.
Se quiser, você pode verificar rapidamente substituindo x=1,5,11 e confirmando que os valores coincidem com a tabela (é sempre uma boa prática checar).

Resposta

p(x)=\frac{71}{400}x^{2}+\frac{21}{100}x+\frac{113}{80}
p(x)=0,1775\,x^{2}+0,21\,x+1,4125

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