a) Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.
b) Agora faça o mesmo usando a forma de Lagrange.
c) E usando a forma de Newton.
Passo 1
O enunciado dá uma função f tabelada nos pontos abaixo e pede três coisas (a, b, c):
Três pontos: (2,3,1), (5,7,2), (9,18,9). Note que estou escrevendo os valores usando vírgula como no enunciado; quando eu usar em fórmulas, vou escrever exatamente em TeX: (2,3{,}1), (5,7{,}2), (9,18{,}9).
Queremos o polinômio interpolante de grau 2 que passa por esses três pontos, por três métodos distintos:
a) resolvendo um sistema linear para os coeficientes do polinômio p(x)=ax^{2}+bx+c;
b) usando a forma de Lagrange;
c) usando a forma de Newton (diferenças divididas).
A partir daqui eu vou resolver passo a passo cada item, explicando as fórmulas e mostrando todas as contas.
Passo 2
(a) Método pelo sistema linear — montar o sistema para [p(x)=ax^{2}+bx+c).
Explicação curta do método: se p(x)=ax^{2}+bx+c e passamos pelos três pontos dados, substituímos cada ponto em p e obtemos três equações lineares nas incógnitas a,b,c. Resolver esse sistema nos dá os coeficientes do polinômio único de grau \le 2 que interpola três pontos com abscissas distintas.
Montagem do sistema substituindo cada ponto:
\begin{cases} a\cdot 2^{2} + b\cdot 2 + c = 3{,}1\\[4pt] a\cdot 5^{2} + b\cdot 5 + c = 7{,}2\\[4pt] a\cdot 9^{2} + b\cdot 9 + c = 18{,}9 \end{cases}
Ou seja,
\begin{cases} 4a + 2b + c = 3{,}1\\[4pt] 25a + 5b + c = 7{,}2\\[4pt] 81a + 9b + c = 18{,}9 \end{cases}
Agora resolvemos por eliminação (subtrações entre equações para eliminar (c]).
(Se quiser uma forma decimal aproximada, a\approx 0{,}222619, b\approx -0{,}191667, c\approx 2{,}592857, mas nas provas prefira frações exatas quando possível.)]
Passo 3
(b) Forma de Lagrange — fórmula, construção das bases e cálculo.
Aula rápida sobre Lagrange (sem jargão): a forma de Lagrange constrói o polinômio interpolante como soma dos valores f(x_{i}) multiplicados por polinômios base L_{i}(x) que valem 1 em x_{i} e 0 nos outros nós. Para três pontos x_{0},x_{1},x_{2} a fórmula é
Somando os coeficientes de x^{2}, x e constante (fiz isso combinando frações com denominador comum 840) chega-se exatamente aos mesmos coeficientes do passo anterior:
coeficiente de x^{2}: \dfrac{187}{840},
coeficiente de x: -\dfrac{161}{840},
termo constante: \dfrac{363}{140}.
Portanto a expressão de Lagrange simplificada coincide com a expressão padrão:
Observação didática: a forma de Lagrange é muito direta de escrever quando temos poucos pontos; ela dá uma soma explícita dos termos base e evita resolver sistemas lineares. Em provas é comum usar Lagrange quando pedem o polinômio ou avaliar em pontos intermediários.
Passo 4
(c) Forma de Newton — diferenças divididas e construção incremental.
Aula rápida sobre Newton: a forma de Newton constrói o polinômio na base \{1,(x-x_{0}), (x-x_{0})(x-x_{1}),\ldots\}. Os coeficientes são as diferenças divididas, que se obtêm pela tabela:
Esta é a forma de Newton. Se expandirmos os fatores acima obtemos novamente os coeficientes do passo 2 e a forma \dfrac{1}{840}(187x^{2}-161x+2178).
Comentário prático: a forma de Newton é ótima quando você quer adicionar mais pontos incrementais, porque você reaproveita as diferenças divididas já calculadas.
Resposta
a) p(x)=\dfrac{1}{840}\bigl(187x^{2}-161x+2178\bigr)
b) p(x)=3{,}1\cdot\dfrac{(x-5)(x-9)}{21}\;+\;7{,}2\cdot\left(-\dfrac{(x-2)(x-9)}{12}\right)\;+\;18{,}9\cdot\dfrac{(x-2)(x-5)}{28}
c) p(x)=3{,}1+\dfrac{41}{30}(x-2)+\dfrac{187}{840}(x-2)(x-5)