Considere f tabelada abaixo
x 2 5 9
f(x) 3,1 7,2 18,9
a) Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.
b) Agora faça o mesmo usando a forma de Lagrange.
c) E usando a forma de Newton.

Passo 1

O enunciado dá uma função f tabelada nos pontos abaixo e pede três coisas (a, b, c):
\begin{array}{c|ccc} x & 2 & 5 & 9\\hline f(x) & 3,1 & 7,2 & 18,9 \end{array}
Informações relevantes que temos:
  • Três pontos: (2,3,1), (5,7,2), (9,18,9). Note que estou escrevendo os valores usando vírgula como no enunciado; quando eu usar em fórmulas, vou escrever exatamente em TeX: (2,3{,}1), (5,7{,}2), (9,18{,}9).
  • Queremos o polinômio interpolante de grau 2 que passa por esses três pontos, por três métodos distintos:
    a) resolvendo um sistema linear para os coeficientes do polinômio p(x)=ax^{2}+bx+c;
    b) usando a forma de Lagrange;
    c) usando a forma de Newton (diferenças divididas).
A partir daqui eu vou resolver passo a passo cada item, explicando as fórmulas e mostrando todas as contas.

Passo 2

(a) Método pelo sistema linear — montar o sistema para [p(x)=ax^{2}+bx+c).
Explicação curta do método: se p(x)=ax^{2}+bx+c e passamos pelos três pontos dados, substituímos cada ponto em p e obtemos três equações lineares nas incógnitas a,b,c. Resolver esse sistema nos dá os coeficientes do polinômio único de grau \le 2 que interpola três pontos com abscissas distintas.
Montagem do sistema substituindo cada ponto:
\begin{cases} a\cdot 2^{2} + b\cdot 2 + c = 3{,}1\\[4pt] a\cdot 5^{2} + b\cdot 5 + c = 7{,}2\\[4pt] a\cdot 9^{2} + b\cdot 9 + c = 18{,}9 \end{cases}
Ou seja,
\begin{cases} 4a + 2b + c = 3{,}1\\[4pt] 25a + 5b + c = 7{,}2\\[4pt] 81a + 9b + c = 18{,}9 \end{cases}
Agora resolvemos por eliminação (subtrações entre equações para eliminar (c]).
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(25-4)a + (5-2)b = 7{,}2-3{,}1 \quad\Rightarrow\quad 21a + 3b = 4{,}1.
Subtraindo a segunda equação da terceira:
(81-25)a + (9-5)b = 18{,}9-7{,}2 \quad\Rightarrow\quad 56a + 4b = 11{,}7.
Agora temos o sistema de duas equações em [a,b):
\begin{cases} 21a + 3b = 4{,}1\\[4pt] 56a + 4b = 11{,}7 \end{cases}
Explicação do passo: isso é eliminação linear clássica — reduzimos de 3 incógnitas para 2 eliminando (c].
Isolamos b da primeira equação:
3b = 4{,}1 - 21a \quad\Rightarrow\quad b = \dfrac{4{,}1 - 21a}{3}.
Substituímos em 56a + 4b = 11{,}7:
56a + 4\cdot \frac{4{,}1 - 21a}{3} = 11{,}7.
Multiplicando tudo por 3 para eliminar frações:
168a + 4(4{,}1 - 21a) = 35{,}1.
Calculando 4(4{,}1 - 21a) = 16{,}4 - 84a, obtemos
168a - 84a + 16{,}4 = 35{,}1 \quad\Rightarrow\quad 84a = 35{,}1 - 16{,}4 = 18{,}7.
Logo
a = \dfrac{18{,}7}{84} = \dfrac{187}{840}.
Comentário: escrevi 18{,}7 como \dfrac{187}{10} e simplifiquei o quociente para \dfrac{187}{840}, que é a forma racional exata.
Agora calculamos b. Usando b = \dfrac{4{,}1 - 21a}{3} e substituindo a=\dfrac{187}{840}:
21a = 21\cdot \dfrac{187}{840} = \dfrac{3927}{840} = \dfrac{1309}{280}.
Também 4{,}1 = \dfrac{41}{10} = \dfrac{1148}{280}. Então
4{,}1 - 21a = \dfrac{1148}{280} - \dfrac{1309}{280} = -\dfrac{161}{280}.
Portanto
b = \dfrac{-\dfrac{161}{280}}{3} = -\dfrac{161}{840}.
Finalmente obtemos c substituindo em 4a + 2b + c = 3{,}1:
c = 3{,}1 - 4a - 2b.
Calculemos com as frações exatas:
4a = 4\cdot \dfrac{187}{840} = \dfrac{748}{840},\qquad 2b = 2\cdot\left(-\dfrac{161}{840}\right) = -\dfrac{322}{840}.
Então
4a + 2b = \dfrac{748 - 322}{840} = \dfrac{426}{840} = \dfrac{71}{140}.
Como 3{,}1 = \dfrac{31}{10} = \dfrac{434}{140}, temos
c = \dfrac{434}{140} - \dfrac{71}{140} = \dfrac{363}{140}.
Resumo dos coeficientes exatos:
a = \dfrac{187}{840},\qquad b = -\dfrac{161}{840},\qquad c = \dfrac{363}{140}.
Podemos escrever o polinômio em forma compacta com denominador comum 840:
p(x)=\dfrac{1}{840}\bigl(187x^{2}-161x+2178\bigr).
(Se quiser uma forma decimal aproximada, a\approx 0{,}222619, b\approx -0{,}191667, c\approx 2{,}592857, mas nas provas prefira frações exatas quando possível.)]

Passo 3

(b) Forma de Lagrange — fórmula, construção das bases e cálculo.
Aula rápida sobre Lagrange (sem jargão): a forma de Lagrange constrói o polinômio interpolante como soma dos valores f(x_{i}) multiplicados por polinômios base L_{i}(x) que valem 1 em x_{i} e 0 nos outros nós. Para três pontos x_{0},x_{1},x_{2} a fórmula é
p(x)=f(x_{0})L_{0}(x)+f(x_{1})L_{1}(x)+f(x_{2})L_{2}(x),
onde
L_{0}(x)=\dfrac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})},\quad L_{1}(x)=\dfrac{(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})},\quad L_{2}(x)=\dfrac{(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}.
Aplicando com os nossos pontos x_{0}=2, x_{1}=5, x_{2}=9:
Calculemos os denominadores:
(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})=(2-5)(2-9)=(-3)(-7)=21,
(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})=(5-2)(5-9)=3\cdot(-4)=-12,
(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})=(9-2)(9-5)=7\cdot 4 = 28.
Logo as bases são
L_{0}(x)=\dfrac{(x-5)(x-9)}{21},\qquad L_{1}(x)=-\dfrac{(x-2)(x-9)}{12},\qquad L_{2}(x)=\dfrac{(x-2)(x-5)}{28}.
Agora construímos p(x) com os valores f(x_{0})=3{,}1, f(x_{1})=7{,}2, f(x_{2})=18{,}9:
p(x)=3{,}1\cdot \dfrac{(x-5)(x-9)}{21} \;+\; 7{,}2\cdot\left(-\dfrac{(x-2)(x-9)}{12}\right) \;+\; 18{,}9\cdot \dfrac{(x-2)(x-5)}{28}.
Explicando o processo de simplificação (vou mostrar como combinar para obter a forma polinomial padrão):
Primeiro termo: 3{,}1\cdot \dfrac{(x-5)(x-9)}{21} = \dfrac{31}{210}\bigl(x^{2}-14x+45\bigr).
Segundo termo: 7{,}2\cdot\left(-\dfrac{(x-2)(x-9)}{12}\right) = -\dfrac{36}{5}\cdot\dfrac{x^{2}-11x+18}{12} = -\dfrac{3}{5}\bigl(x^{2}-11x+18\bigr).
Terceiro termo: 18{,}9\cdot \dfrac{(x-2)(x-5)}{28} = \dfrac{189}{280}\bigl(x^{2}-7x+10\bigr) = \dfrac{27}{40}\bigl(x^{2}-7x+10\bigr).
Somando os coeficientes de x^{2}, x e constante (fiz isso combinando frações com denominador comum 840) chega-se exatamente aos mesmos coeficientes do passo anterior:
  • coeficiente de x^{2}: \dfrac{187}{840},
  • coeficiente de x: -\dfrac{161}{840},
  • termo constante: \dfrac{363}{140}.
Portanto a expressão de Lagrange simplificada coincide com a expressão padrão:
p(x)=\dfrac{1}{840}\bigl(187x^{2}-161x+2178\bigr).
Observação didática: a forma de Lagrange é muito direta de escrever quando temos poucos pontos; ela dá uma soma explícita dos termos base e evita resolver sistemas lineares. Em provas é comum usar Lagrange quando pedem o polinômio ou avaliar em pontos intermediários.

Passo 4

(c) Forma de Newton — diferenças divididas e construção incremental.
Aula rápida sobre Newton: a forma de Newton constrói o polinômio na base \{1,(x-x_{0}), (x-x_{0})(x-x_{1}),\ldots\}. Os coeficientes são as diferenças divididas, que se obtêm pela tabela:
Definimos os nós e valores:
x_{0}=2,\; f[x_{0}]=f(2)=3{,}1;\qquad x_{1}=5,\; f[x_{1}]=7{,}2;\qquad x_{2}=9,\; f[x_{2}]=18{,}9.
Diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_{0},x_{1}] = \dfrac{f[x_{1}]-f[x_{0}]}{x_{1}-x_{0}} = \dfrac{7{,}2-3{,}1}{5-2} = \dfrac{4{,}1}{3} = \dfrac{41}{30}.
f[x_{1},x_{2}] = \dfrac{f[x_{2}]-f[x_{1}]}{x_{2}-x_{1}} = \dfrac{18{,}9-7{,}2}{9-5} = \dfrac{11{,}7}{4} = \dfrac{117}{40}.
Diferença dividida de segunda ordem:
f[x_{0},x_{1},x_{2}] = \dfrac{f[x_{1},x_{2}] - f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}} = \dfrac{\dfrac{117}{40} - \dfrac{41}{30}}{9-2}.
Calculando a diferença no numerador com denominador comum 120:
\dfrac{117}{40} - \dfrac{41}{30} = \dfrac{351}{120} - \dfrac{164}{120} = \dfrac{187}{120}.
Dividindo por 9-2=7 obtemos
f[x_{0},x_{1},x_{2}] = \dfrac{187}{120}\cdot \dfrac{1}{7} = \dfrac{187}{840},
que é exatamente o coeficiente quadrático a que já encontramos.
A forma de Newton para grau 2 é
p(x)=f[x_{0}] + f[x_{0},x_{1}](x-x_{0}) + f[x_{0},x_{1},x_{2}](x-x_{0})(x-x_{1}).
Substituindo os valores:
p(x)=3{,}1 + \dfrac{41}{30}(x-2) + \dfrac{187}{840}(x-2)(x-5).
Esta é a forma de Newton. Se expandirmos os fatores acima obtemos novamente os coeficientes do passo 2 e a forma \dfrac{1}{840}(187x^{2}-161x+2178).
Comentário prático: a forma de Newton é ótima quando você quer adicionar mais pontos incrementais, porque você reaproveita as diferenças divididas já calculadas.

Resposta

a) p(x)=\dfrac{1}{840}\bigl(187x^{2}-161x+2178\bigr)
b) p(x)=3{,}1\cdot\dfrac{(x-5)(x-9)}{21}\;+\;7{,}2\cdot\left(-\dfrac{(x-2)(x-9)}{12}\right)\;+\;18{,}9\cdot\dfrac{(x-2)(x-5)}{28}
c) p(x)=3{,}1+\dfrac{41}{30}(x-2)+\dfrac{187}{840}(x-2)(x-5)

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