Considere f tabelada abaixo
x 0 3 6
f(x) 0,9 4,7 12,4
Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o polinômio interpolante de grau 2 que passa pelos pontos dados na tabela. Os dados fornecidos são:
x=0,\; f(0)=0,9
x=3,\; f(3)=4,7
x=6,\; f(6)=12,4
Ou seja, queremos um polinômio de grau 2 que, ao ser avaliado em x=0,3,6, produza os valores 0,9, 4,7 e 12,4, respectivamente.

Passo 2

Escolhemos representar o polinômio interpolante geral de grau 2 na forma
p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são as incógnitas que precisamos determinar. Explicando: a é o coeficiente do termo quadrático x^{2}, b do termo linear x e c é o termo constante. Para encontrar a, b e c basta impor que p passe pelos três pontos dados e resolver o sistema linear resultante (três equações, três incógnitas).

Passo 3

Substituindo cada ponto na expressão p(x)=ax^{2}+bx+c obtemos as equações:
\begin{cases} a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c=0,9,\\[4pt] a\cdot 3^{2}+b\cdot 3+c=4,7,\\[4pt] a\cdot 6^{2}+b\cdot 6+c=12,4. \end{cases}
Simplificando:
\begin{cases} c=0,9,\\[4pt] 9a+3b+c=4,7,\\[4pt] 36a+6b+c=12,4. \end{cases}]

Passo 4

Como já vimos, da primeira equação vem imediatamente
c=0,9.
Isto ocorre porque em x=0\) os termos que envolvem \(a\) e \(b\) desaparecem, restando só \(c\). Agora substituímos \(c\) nas outras duas equações: \[\begin{cases} 9a+3b=4,7-0,9,\\[4pt] 36a+6b=12,4-0,9. \end{cases}
Calculando as diferenças (explicando o cálculo): 4,7-0,9=3,8\] e \(12,4-0,9=11,5. Assim obtemos o sistema reduzido
\begin{cases} 9a+3b=3,8,\\[4pt] 36a+6b=11,5. \end{cases}]

Passo 5

Para resolver o sistema com a e b usamos eliminação. Multiplico a primeira equação por 2 para igualar o coeficiente de b:
18a+6b=7,6.
Agora subtraio essa equação da segunda:
(36a+6b)-(18a+6b)=11,5-7,6.
No lado esquerdo 36a-18a=18a (os 6b cancelam). No lado direito 11,5-7,6=3,9. Logo
18a=3,9.
Dividindo ambos os lados por 18 obtemos a. Para facilitar a escrita exata, convertemos para fração: 3,9=\dfrac{39}{10}, então
a=\dfrac{3,9}{18}=\dfrac{39/10}{18}=\dfrac{39}{180}=\dfrac{13}{60}.

Passo 6

Com a=\dfrac{13}{60} voltamos a uma das equações (por exemplo 9a+3b=3,8) para achar b. Primeiro calculamos 9a:
9a=9\cdot \dfrac{13}{60}=\dfrac{117}{60}=\dfrac{39}{20}=1,95.
Substituindo em 9a+3b=3,8 temos
1,95+3b=3,8.
Então
3b=3,8-1,95=1,85.
Dividindo por 3:
b=\dfrac{1,85}{3}.
Passando para fração exata: 1,85=\dfrac{185}{100}=\dfrac{37}{20}, assim
b=\dfrac{37/20}{3}=\dfrac{37}{60}.

Passo 7

Recapitulando as três incógnitas: a=\dfrac{13}{60}, b=\dfrac{37}{60} e c=0,9=\dfrac{9}{10}. Montamos então o polinômio interpolante:
p(x)=\dfrac{13}{60}x^{2}+\dfrac{37}{60}x+\dfrac{9}{10}.
Como verificação rápida, podemos avaliar p(3) e p(6) e conferir que retornam 4,7 e 12,4 (opcional na prova, mas útil para checar cálculo).

Resposta

p(x)=\dfrac{13}{60}x^{2}+\dfrac{37}{60}x+\dfrac{9}{10}

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