Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o polinômio interpolante de grau 2 que passa pelos pontos dados na tabela. Os dados fornecidos são:
x=0,\; f(0)=0,9
x=3,\; f(3)=4,7
x=6,\; f(6)=12,4
Ou seja, queremos um polinômio de grau 2 que, ao ser avaliado em x=0,3,6, produza os valores 0,9, 4,7 e 12,4, respectivamente.
Passo 2
Escolhemos representar o polinômio interpolante geral de grau 2 na forma
p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são as incógnitas que precisamos determinar. Explicando: a é o coeficiente do termo quadrático x^{2}, b do termo linear x e c é o termo constante. Para encontrar a, b e c basta impor que p passe pelos três pontos dados e resolver o sistema linear resultante (três equações, três incógnitas).
Passo 3
Substituindo cada ponto na expressão p(x)=ax^{2}+bx+c obtemos as equações:
Como já vimos, da primeira equação vem imediatamente
c=0,9.
Isto ocorre porque em x=0\) os termos que envolvem \(a\) e \(b\) desaparecem, restando só \(c\). Agora substituímos \(c\) nas outras duas equações:
\[\begin{cases} 9a+3b=4,7-0,9,\\[4pt] 36a+6b=12,4-0,9. \end{cases}
Calculando as diferenças (explicando o cálculo): 4,7-0,9=3,8\] e \(12,4-0,9=11,5. Assim obtemos o sistema reduzido