Considere f tabelada abaixo
3
7
12
4,1
9,3
28,8
Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.
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3 | 7 | 12 |
|
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4,1 | 9,3 | 28,8 |
Passo 1
O enunciado dá três pares ordenados de uma função tabelada e pede para determinar o polinômio interpolante de grau 2 usando resolução de sistema linear.
Pontos fornecidos (retirei os dados da tabela do enunciado):
O que precisamos entregar: encontrar os coeficientes de um polinômio quadrático
tal que
.
Pontos fornecidos (retirei os dados da tabela do enunciado):
O que precisamos entregar: encontrar os coeficientes
Passo 2
Primeiro passo do método: escrever o polinômio geral de grau 2 com incógnitas
:
Aqui
,
e
são os números que temos de achar. Vamos impor que
passe pelos três pontos dados — isso gera um sistema linear com três equações (uma por ponto).
Passo 3
Substituindo cada ponto em
Explicação sobre este sistema: cada linha corresponde a
. Temos três equações lineares em três incógnitas; como as abscissas
são distintas, esse sistema tem solução única (é o caso clássico da matriz de Vandermonde não nula), portanto existe um único polinômio quadrático que interpola os três pontos.]
Passo 4
Para resolver o sistema faça eliminação de
: subtraímos a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar
:
subtraindo a primeira da segunda:
subtraindo a primeira da segunda:
subtraindo a segunda da terceira:
Assim reduzimos para o sistema com duas equações e duas incógnitas:
Passo 5
Simplificamos cada equação dividindo por fatores comuns para números menores (isso facilita as contas):
dividindo a primeira por :
dividindo a primeira por
dividindo a segunda por
:
Agora temos o sistema simplificado
Passo 6
Eliminamos
subtraindo a primeira equação da segunda:
Logo
Para escrever em forma de fração com inteiros simplificamos:
, então
Se preferir a aproximação decimal,
Passo 7
Encontramos
usando
. Substituindo
:
Faço as contas com frações:
e
. Assim
Em decimal
Passo 8
Agora determinamos
usando a primeira equação
. Isolando
:
Substituindo as frações
e
:
calcule e
. Então
calcule
Simplificando
. Em decimal