Considere f tabelada abaixo
x 3 7 12
f(x) 4,1 9,3 28,8
Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.

Passo 1

O enunciado dá três pares ordenados de uma função tabelada e pede para determinar o polinômio interpolante de grau 2 usando resolução de sistema linear.
Pontos fornecidos (retirei os dados da tabela do enunciado):
(x,f(x)) = (3,\,4{,}1),\; (7,\,9{,}3),\; (12,\,28{,}8).
O que precisamos entregar: encontrar os coeficientes a,b,c de um polinômio quadrático p(x)=ax^{2}+bx+c tal que p(3)=4{,}1,\;p(7)=9{,}3,\;p(12)=28{,}8.

Passo 2

Primeiro passo do método: escrever o polinômio geral de grau 2 com incógnitas a,b,c:
p(x)=ax^{2}+bx+c.
Aqui a, b e c são os números que temos de achar. Vamos impor que p passe pelos três pontos dados — isso gera um sistema linear com três equações (uma por ponto).

Passo 3

Substituindo cada ponto em p(x)=ax^{2}+bx+c\) obtemos o sistema: \[\begin{cases} 9a+3b+c=4{,}1,\\[4pt] 49a+7b+c=9{,}3,\\[4pt] 144a+12b+c=28{,}8. \end{cases}
Explicação sobre este sistema: cada linha corresponde a ax^{2}+bx+c=f(x)\] para \(x=3,7,12. Temos três equações lineares em três incógnitas; como as abscissas 3,7,12 são distintas, esse sistema tem solução única (é o caso clássico da matriz de Vandermonde não nula), portanto existe um único polinômio quadrático que interpola os três pontos.]

Passo 4

Para resolver o sistema faça eliminação de c: subtraímos a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar c:
subtraindo a primeira da segunda:
(49-9)a+(7-3)b+(c-c)=9{,}3-4{,}1 \;\Longrightarrow\; 40a+4b=5{,}2.
subtraindo a segunda da terceira:
(144-49)a+(12-7)b+(c-c)=28{,}8-9{,}3 \;\Longrightarrow\; 95a+5b=19{,}5.
Assim reduzimos para o sistema com duas equações e duas incógnitas:
\begin{cases} 40a+4b=5{,}2,\\[4pt] 95a+5b=19{,}5. \end{cases}]

Passo 5

Simplificamos cada equação dividindo por fatores comuns para números menores (isso facilita as contas):
dividindo a primeira por 4:
10a+b=1{,}3.
dividindo a segunda por 5:
19a+b=3{,}9.
Agora temos o sistema simplificado
\begin{cases} 10a+b=1{,}3,\\[4pt] 19a+b=3{,}9. \end{cases}]

Passo 6

Eliminamos b subtraindo a primeira equação da segunda:
(19a+b)-(10a+b)=3{,}9-1{,}3 \;\Longrightarrow\; 9a=2{,}6.
Logo
a=\frac{2{,}6}{9}.
Para escrever em forma de fração com inteiros simplificamos: 2{,}6=\dfrac{26}{10}=\dfrac{13}{5}, então
a=\frac{13}{5}\cdot\frac{1}{9}=\frac{13}{45}.
Se preferir a aproximação decimal, a\approx 0{,}288888\ldots

Passo 7

Encontramos b usando 10a+b=1{,}3. Substituindo a=\dfrac{13}{45}:
b=1{,}3-10\cdot\frac{13}{45}.
Faço as contas com frações: 1{,}3=\dfrac{13}{10}=\dfrac{117}{90} e 10\cdot\frac{13}{45}=\frac{130}{45}=\frac{260}{90}. Assim
b=\frac{117}{90}-\frac{260}{90}=-\frac{143}{90}.
Em decimal b\approx -1{,}588888\ldots

Passo 8

Agora determinamos c usando a primeira equação 9a+3b+c=4{,}1. Isolando c:
c=4{,}1-9a-3b.
Substituindo as frações a=\dfrac{13}{45} e b=-\dfrac{143}{90}:
calcule 9a=9\cdot\frac{13}{45}=\frac{117}{45}=\frac{234}{90} e 3b=3\cdot\left(-\frac{143}{90}\right)=-\frac{429}{90}. Então
c=\frac{369}{90}-\frac{234}{90}-\left(-\frac{429}{90}\right)=\frac{369-234+429}{90}=\frac{564}{90}.
Simplificando \dfrac{564}{90}=\dfrac{94}{15}. Em decimal c\approx 6{,}266666\ldots

Resposta

p(x)=\frac{13}{45}x^{2}-\frac{143}{90}x+\frac{94}{15}

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