- Construa a tabela de diferenças divididas com os dados abaixo.
Estime o valor de
.
1,41
4,802
Estime o valor de
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1,41 | 4,802 |
Passo 1
O enunciado pede que eu construa a tabela de diferenças divididas usando os pontos dados e, com ela, estime o valor de
.
Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela do enunciado):
Perguntas claras:
- Construir a tabela de diferenças divididas (todos os níveis até a quinta diferença, porque temos 6 pontos).
- Usar essa tabela para construir o polinômio de Newton (na forma de diferenças divididas) e estimar
.
No próximo passo eu monto a tabela e explico, passo a passo, o que é cada diferença dividida e como calculá-la.
Passo 2
O que são diferenças divididas e como montamos a tabela (aula rápida, concreta):
- A diferença dividida de ordem zero é simplesmente o valor da função no ponto:
. - A diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos
é
Aqui
e
são os valores dados;
é a diferença nas abscissas.
- A diferença dividida de ordem
geral é
Na prática, monta-se uma tabela triangular: coluna de ordem 0 (os
), coluna de ordem 1 (primeiras diferenças), coluna de ordem 2 (segundas), etc.
Vou calcular todas as colunas. Observação prática: os pontos aqui estão equiespaçados por
. Isso simplifica denominadores: por exemplo para ordem 1 divide-se por
, para ordem 2 o denominador será
(pois
), para ordem 3 será
, etc. Vou mostrar os cálculos.
Passo 3
Coluna de ordem zero (já dada):
Coluna de primeira ordem (usar
):
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
Passo 4
Coluna de segunda ordem (denominador
, então é diferença simples entre as primeiras diferenças):
- Começando em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 5
Coluna de terceira ordem (denominador
):
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 6
Coluna de quarta ordem (denominador
):
- Em
:
- Em
:
Passo 7
Coluna de quinta ordem (denominador
):
- Em
:
Resumo da tabela (coluna por coluna, aproximando as frações quando necessário):
E a quinta ordem única (na ponta):
Passo 8
Construindo o polinômio de Newton (forma prática): com nós
e coeficientes sendo as primeiras entradas de cada coluna da tabela, temos
Substituindo os coeficientes obtidos (aproximações):
Passo 9
Agora avalio
passo a passo (faço os produtos na ordem crescente de grau — isso é o jeito mais seguro numa prova):
Calcule os fatores:
Agora cada termo do polinômio:
Somemos todos os termos (cumulativamente):
Arredondando de forma razoável para três casas decimais, fica aproximadamente
.