1. Construa a tabela de diferenças divididas com os dados abaixo.
    Estime o valor de f(1,23).
\mathbf{x} \mathbf{0 , 0} \mathbf{0 , 5} \mathbf{1 , 0} \mathbf{1 , 5} \mathbf{2 , 0} \mathbf{2 , 5}
\mathbf{f ( x )} -3,02 -2,48 -1,12 -0,50 1,41 4,802

Passo 1

O enunciado pede que eu construa a tabela de diferenças divididas usando os pontos dados e, com ela, estime o valor de f(1,23).
Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} x & f(x)\\hline 0{,}0 & -3{,}02\\\\ 0{,}5 & -2{,}48\\\\ 1{,}0 & -1{,}12\\\\ 1{,}5 & -0{,}50\\\\ 2{,}0 & 1{,}41\\\\ 2{,}5 & 4{,}802 \end{array}
Perguntas claras:
  1. Construir a tabela de diferenças divididas (todos os níveis até a quinta diferença, porque temos 6 pontos).
  2. Usar essa tabela para construir o polinômio de Newton (na forma de diferenças divididas) e estimar f(1,23).
No próximo passo eu monto a tabela e explico, passo a passo, o que é cada diferença dividida e como calculá-la.

Passo 2

O que são diferenças divididas e como montamos a tabela (aula rápida, concreta):
  • A diferença dividida de ordem zero é simplesmente o valor da função no ponto: \displaystyle f[x_i]=f(x_i).
  • A diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos (x_i,x_{i+1}) é
\displaystyle f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{x_{i+1}-x_i}.
Aqui f[x_{i+1}] e f[x_i] são os valores dados; x_{i+1}-x_i é a diferença nas abscissas.
  • A diferença dividida de ordem k geral é
\displaystyle f[x_i,\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+k}]-f[x_i,\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}.
Na prática, monta-se uma tabela triangular: coluna de ordem 0 (os f), coluna de ordem 1 (primeiras diferenças), coluna de ordem 2 (segundas), etc.
Vou calcular todas as colunas. Observação prática: os pontos aqui estão equiespaçados por 0{,}5. Isso simplifica denominadores: por exemplo para ordem 1 divide-se por 0{,}5, para ordem 2 o denominador será 1{,}0 (pois x_{i+2}-x_i=1{,}0), para ordem 3 será 1{,}5, etc. Vou mostrar os cálculos.

Passo 3

Coluna de ordem zero (já dada):
\begin{array}{l} f[x_0]=f(0{,}0)=-3{,}02,\\\ f[x_1]=f(0{,}5)=-2{,}48,\\\ f[x_2]=f(1{,}0)=-1{,}12,\\\ f[x_3]=f(1{,}5)=-0{,}50,\\\ f[x_4]=f(2{,}0)=1{,}41,\\\ f[x_5]=f(2{,}5)=4{,}802. \end{array}
Coluna de primeira ordem (usar \displaystyle f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{0{,}5}):
  • Entre x_0 e x_1:
\displaystyle f[x_0,x_1]=\frac{-2{,}48-(-3{,}02)}{0{,}5}=\frac{0{,}54}{0{,}5}=1{,}08.
  • Entre x_1 e x_2:
\displaystyle f[x_1,x_2]=\frac{-1{,}12-(-2{,}48)}{0{,}5}=\frac{1{,}36}{0{,}5}=2{,}72.
  • Entre x_2 e x_3:
\displaystyle f[x_2,x_3]=\frac{-0{,}50-(-1{,}12)}{0{,}5}=\frac{0{,}62}{0{,}5}=1{,}24.
  • Entre x_3 e x_4:
\displaystyle f[x_3,x_4]=\frac{1{,}41-(-0{,}50)}{0{,}5}=\frac{1{,}91}{0{,}5}=3{,}82.
  • Entre x_4 e x_5:
\displaystyle f[x_4,x_5]=\frac{4{,}802-1{,}41}{0{,}5}=\frac{3{,}392}{0{,}5}=6{,}784.

Passo 4

Coluna de segunda ordem (denominador x_{i+2}-x_i=1{,}0, então é diferença simples entre as primeiras diferenças):
  • Começando em x_0:
\displaystyle f[x_0,x_1,x_2]=\frac{2{,}72-1{,}08}{1{,}0}=1{,}64.
  • Em x_1:
\displaystyle f[x_1,x_2,x_3]=\frac{1{,}24-2{,}72}{1{,}0}=-1{,}48.
  • Em x_2:
\displaystyle f[x_2,x_3,x_4]=\frac{3{,}82-1{,}24}{1{,}0}=2{,}58.
  • Em x_3:
\displaystyle f[x_3,x_4,x_5]=\frac{6{,}784-3{,}82}{1{,}0}=2{,}964.

Passo 5

Coluna de terceira ordem (denominador x_{i+3}-x_i=1{,}5):
  • Em x_0:
\displaystyle f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{-1{,}48-1{,}64}{1{,}5}=\frac{-3{,}12}{1{,}5}=-2{,}08.
  • Em x_1:
\displaystyle f[x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{2{,}58-(-1{,}48)}{1{,}5}=\frac{4{,}06}{1{,}5}=2{,}706666\ldots\\ (\text{aprox. }2{,}7066667).
  • Em x_2:
\displaystyle f[x_2,x_3,x_4,x_5]=\frac{2{,}964-2{,}58}{1{,}5}=\frac{0{,}384}{1{,}5}=0{,}256.

Passo 6

Coluna de quarta ordem (denominador x_{i+4}-x_i=2{,}0):
  • Em x_0:
\displaystyle f[x_0,\dots,x_4]=\frac{2{,}7066667-(-2{,}08)}{2{,}0}=\frac{4{,}7866667}{2{,}0}=2{,}39333335\\ (\text{aprox. }2{,}3933333).
  • Em x_1:
\displaystyle f[x_1,\dots,x_5]=\frac{0{,}256-2{,}7066667}{2{,}0}=\frac{-2{,}4506667}{2{,}0}=-1{,}22533335\\ (\text{aprox. }-1{,}2253333).

Passo 7

Coluna de quinta ordem (denominador x_{i+5}-x_i=2{,}5):
  • Em x_0:
\displaystyle f[x_0,\dots,x_5]=\frac{-1{,}22533335-2{,}39333335}{2{,}5}=\frac{-3{,}6186667}{2{,}5}=-1{,}44746668\\ (\text{aprox. }-1{,}4474667).
Resumo da tabela (coluna por coluna, aproximando as frações quando necessário):
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & f[x_i] & f[x_i,x_{i+1}] & f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] & f^{(3)} & f^{(4)}\\hline 0{,}0 & -3{,}02 & 1{,}08 & 1{,}64 & -2{,}08 & 2{,}3933333\\\\ 0{,}5 & -2{,}48 & 2{,}72 & -1{,}48 & 2{,}7066667 & -1{,}2253333\\\\ 1{,}0 & -1{,}12 & 1{,}24 & 2{,}58 & 0{,}256 & \\\\ 1{,}5 & -0{,}50 & 3{,}82 & 2{,}964 & & \\\\ 2{,}0 & 1{,}41 & 6{,}784 & & & \\\\ 2{,}5 & 4{,}802 & & & & \end{array}
E a quinta ordem única (na ponta):
f[x_0,\dots,x_5]\approx -1{,}4474667.

Passo 8

Construindo o polinômio de Newton (forma prática): com nós x_0=0{,}0,\;x_1=0{,}5,\;x_2=1{,}0,\;x_3=1{,}5,\;x_4=2{,}0,\;x_5=2{,}5 e coeficientes sendo as primeiras entradas de cada coluna da tabela, temos
\begin{aligned} P(x)=&\;f[x_0]\\\ &+f[x_0,x_1](x-x_0)\\\ &+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)\\\ &+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\\\ &+f[x_0,\dots,x_4](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\\\ &+f[x_0,\dots,x_5](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4). \end{aligned}
Substituindo os coeficientes obtidos (aproximações):
\begin{aligned} P(x)=&\;-3{,}02 \\\ &+1{,}08\,(x-0{,}0) \\\ &+1{,}64\,(x-0{,}0)(x-0{,}5) \\\ &-2{,}08\,(x-0{,}0)(x-0{,}5)(x-1{,}0) \\\ &+2{,}3933333\,(x-0{,}0)(x-0{,}5)(x-1{,}0)(x-1{,}5) \\\ &-1{,}4474667\,(x-0{,}0)(x-0{,}5)(x-1{,}0)(x-1{,}5)(x-2{,}0). \end{aligned}

Passo 9

Agora avalio P(1{,}23) passo a passo (faço os produtos na ordem crescente de grau — isso é o jeito mais seguro numa prova):
Calcule os fatores:
\begin{aligned} t_1&=(1{,}23-0{,}0)=1{,}23,\\\ t_2&=t_1(1{,}23-0{,}5)=1{,}23\cdot0{,}73=0{,}8979,\\\ t_3&=t_2(1{,}23-1{,}0)=0{,}8979\cdot0{,}23=0{,}206517,\\\ t_4&=t_3(1{,}23-1{,}5)=0{,}206517\cdot(-0{,}27)=-0{,}05575959,\\\ t_5&=t_4(1{,}23-2{,}0)=-0{,}05575959\cdot(-0{,}77)=0{,}0429348843. \end{aligned}
Agora cada termo do polinômio:
\begin{aligned} \text{constante }&= -3{,}02,\\\ \text{1º termo }&=1{,}08\cdot t_1=1{,}08\cdot1{,}23=1{,}3284,\\\ \text{2º termo }&=1{,}64\cdot t_2=1{,}64\cdot0{,}8979=1{,}472556,\\\ \text{3º termo }&=-2{,}08\cdot t_3=-2{,}08\cdot0{,}206517=-0{,}42955536,\\\ \text{4º termo }&=2{,}3933333\cdot t_4=2{,}3933333\cdot(-0{,}05575959)\approx -0{,}1334512854,\\\ \text{5º termo }&=-1{,}4474667\cdot t_5\approx -1{,}4474667\cdot0{,}0429348843\approx -0{,}062146999. \end{aligned}ººººº
Somemos todos os termos (cumulativamente):
\begin{aligned} P(1{,}23)\approx&\;-3{,}02 +1{,}3284 +1{,}472556 -0{,}42955536 -0{,}1334512854 -0{,}062146999\\\ =&\;-0{,}8441976444\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}
Arredondando de forma razoável para três casas decimais, fica aproximadamente -0{,}844.

Resposta

-0{,}8441976444 (aprox. -0{,}844).

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