Considere f tabelada abaixo
1
4
7
2,3
6,1
15,8
Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.
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1 | 4 | 7 |
|
|
2,3 | 6,1 | 15,8 |
Passo 1
O enunciado pede: determinar o polinômio interpolante de grau 2 que passa pelos três pontos dados na tabela.
Informações fornecidas (peguei os valores da tabela do enunciado):
com
(ou seja
),
com
(ou seja
),
com
(ou seja
).
Informações fornecidas (peguei os valores da tabela do enunciado):
O que se pede explicitamente: encontrar um polinômio de grau 2, isto é uma função da forma
, cujos coeficientes
fazem com que
,
e
.
Passo 2
Vamos traduzir a condição de interpolação em um sistema linear para
. Substituindo os três pontos em
obtemos três equações lineares. Escrevo as três equações (cada expressão matemática está entre delimitadores TeX):
Passo 3
Simplificando potências e escrevendo como sistema:
Aqui cada linha é uma equação linear em
. O objetivo é resolver esse sistema por eliminação (ou outro método de sistemas), encontrando
.
Passo 4
Explico a estratégia de eliminação: se subtrairmos a primeira equação da segunda e da terceira eliminamos
(porque
). Isso reduz o problema para um sistema
em
e
, que é mais fácil de resolver. Primeiro converto os números decimais em frações para facilitar contas exatas:
Agora subtraio a primeira equação da segunda:
E subtraio a primeira da terceira:
Calculo
. Logo obtemos o sistema:
Passo 5
Simplifico cada equação dividindo por fatores comuns para deixar mais simples:
dividindo a primeira por e a segunda por
dá
dividindo a primeira por
Agora subtraio a primeira da segunda para eliminar
:
Calculo a diferença do lado direito com denominador comum
:
então
Logo
Passo 6
Agora que achamos
, voltamos para encontrar
. Uso a equação
:
Calculo
. Escrevo
com denominador
para subtrair:
Então
Passo 7
Finalmente encontro
usando a primeira equação
. Portanto
Transformo tudo com denominador
:
. Já
. Assim
Passo 8
Resumo dos coeficientes (exatos):
É sempre bom conferir rapidamente: calcular
,
,
. Está tudo coerente.