Considere f tabelada abaixo
x 1 4 7
f(x) 2,3 6,1 15,8
Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o polinômio interpolante de grau 2 que passa pelos três pontos dados na tabela.
Informações fornecidas (peguei os valores da tabela do enunciado):
x=1 com f(x)=2,3 (ou seja f(1)=2{,}3),
x=4 com f(x)=6,1 (ou seja f(4)=6{,}1),
x=7 com f(x)=15,8 (ou seja f(7)=15{,}8).
O que se pede explicitamente: encontrar um polinômio de grau 2, isto é uma função da forma p(x)=ax^{2}+bx+c, cujos coeficientes a,b,c fazem com que p(1)=2{,}3, p(4)=6{,}1 e p(7)=15{,}8.

Passo 2

Vamos traduzir a condição de interpolação em um sistema linear para a,b,c. Substituindo os três pontos em p(x)=ax^{2}+bx+c obtemos três equações lineares. Escrevo as três equações (cada expressão matemática está entre delimitadores TeX):
a\cdot 1^{2}+b\cdot 1 + c = 2{,}3
a\cdot 4^{2}+b\cdot 4 + c = 6{,}1
a\cdot 7^{2}+b\cdot 7 + c = 15{,}8

Passo 3

Simplificando potências e escrevendo como sistema:
a + b + c = 2{,}3
16a + 4b + c = 6{,}1
49a + 7b + c = 15{,}8
Aqui cada linha é uma equação linear em a,b,c. O objetivo é resolver esse sistema por eliminação (ou outro método de sistemas), encontrando a,b,c.

Passo 4

Explico a estratégia de eliminação: se subtrairmos a primeira equação da segunda e da terceira eliminamos c (porque c-c=0). Isso reduz o problema para um sistema 2\times2 em a e b, que é mais fácil de resolver. Primeiro converto os números decimais em frações para facilitar contas exatas:
2{,}3=\tfrac{23}{10},\quad 6{,}1=\tfrac{61}{10},\quad 15{,}8=\tfrac{79}{5}.
Agora subtraio a primeira equação da segunda:
(16a+4b+c)-(a+b+c)=15a+3b=\tfrac{61}{10}-\tfrac{23}{10}=\tfrac{38}{10}=\tfrac{19}{5}.
E subtraio a primeira da terceira:
(49a+7b+c)-(a+b+c)=48a+6b=\tfrac{79}{5}-\tfrac{23}{10}.
Calculo \tfrac{79}{5}-\tfrac{23}{10}=\tfrac{158}{10}-\tfrac{23}{10}=\tfrac{135}{10}=\tfrac{27}{2}. Logo obtemos o sistema:
15a+3b=\tfrac{19}{5}
48a+6b=\tfrac{27}{2}

Passo 5

Simplifico cada equação dividindo por fatores comuns para deixar mais simples:
dividindo a primeira por 3 e a segunda por 6
5a + b = \tfrac{19}{15}
8a + b = \tfrac{9}{4}
Agora subtraio a primeira da segunda para eliminar b:
(8a+b)-(5a+b)=3a=\tfrac{9}{4}-\tfrac{19}{15}.
Calculo a diferença do lado direito com denominador comum 60:
\tfrac{9}{4}=\tfrac{135}{60},\quad \tfrac{19}{15}=\tfrac{76}{60},
então
3a=\tfrac{135}{60}-\tfrac{76}{60}=\tfrac{59}{60}.
Logo
a=\tfrac{59}{180}.

Passo 6

Agora que achamos a, voltamos para encontrar b. Uso a equação 8a+b=\tfrac{9}{4}:
b=\tfrac{9}{4}-8a=\tfrac{9}{4}-8\cdot \tfrac{59}{180}.
Calculo 8\cdot \tfrac{59}{180}=\tfrac{472}{180}=\tfrac{118}{45}. Escrevo \tfrac{9}{4} com denominador 180 para subtrair:
\tfrac{9}{4}=\tfrac{405}{180}.
Então
b=\tfrac{405}{180}-\tfrac{472}{180}=-\tfrac{67}{180}.

Passo 7

Finalmente encontro c usando a primeira equação a+b+c=\tfrac{23}{10}. Portanto
c=\tfrac{23}{10}-a-b.
Transformo tudo com denominador 180: \tfrac{23}{10}=\tfrac{414}{180}. Já a+b=\tfrac{59}{180}-\tfrac{67}{180}=-\tfrac{8}{180}. Assim
c=\tfrac{414}{180}-\bigl(-\tfrac{8}{180}\bigr)=\tfrac{422}{180}=\tfrac{211}{90}.

Passo 8

Resumo dos coeficientes (exatos):
a=\tfrac{59}{180},\quad b=-\tfrac{67}{180},\quad c=\tfrac{211}{90}.
É sempre bom conferir rapidamente: calcular p(1)=a+b+c=\tfrac{23}{10}=2{,}3, p(4)=16a+4b+c=\tfrac{61}{10}=6{,}1, p(7)=49a+7b+c=\tfrac{79}{5}=15{,}8. Está tudo coerente.

Resposta

p(x)=\tfrac{59}{180}x^{2}-\tfrac{67}{180}x+\tfrac{211}{90}

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