Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?
x 12368
\begin{array}{llllll}y & 3 & 5 & 7 & 12 & 15\end{array}
(a) y=1,6 x+1
(b) y=1,5 x+1,2
(c) y=1,8 x+0,5
(d) y=1,4 x+1,5
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a reta que melhor ajusta os pontos da tabela. Os pontos, extraídos diretamente do enunciado, são:
(1,3), (2,5), (3,7), (6,12), (8,15).
As alternativas dadas são:
(a) y=1,6x+1
(b) y=1,5x+1,2
(c) y=1,8x+0,5
(d) y=1,4x+1,5
(e) Não sei

Passo 2

Vamos buscar a reta que minimiza a soma dos quadrados dos erros (método dos mínimos quadrados). Seja a reta genérica
y = ax + b
onde a é a inclinação (coeficiente angular) e b é o intercepto (coeficiente linear). Para cada ponto (x_i,y_i) definimos o resíduo r_i = y_i - (ax_i + b). A soma dos quadrados dos resíduos é
S(a,b)=\sum_{i=1}^n r_i^2=\sum_{i=1}^n \bigl(y_i - (ax_i + b)\bigr)^2.
Os valores ótimos a e b são obtidos anulando as derivadas parciais de S em relação a a e b. O resultado padrão (fórmulas que você deve decorar para prova) é:
a=\frac{n\sum x_i y_i - \bigl(\sum x_i\bigr)\bigl(\sum y_i\bigr)}{n\sum x_i^2 - \bigl(\sum x_i\bigr)^2}
b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}
Aqui n é o número de pontos, \sum x_i é a soma das abscissas, \sum y_i soma das ordenadas, \sum x_i y_i soma dos produtos e \sum x_i^2 soma dos quadrados das abscissas. Essas fórmulas vêm de resolver um sistema linear (condições normais) e são a forma rápida para calcular a reta de ajuste no exame sem derivar tudo na hora.

Passo 3

Calculemos as somas necessárias a partir dos pontos listados:
n=5
\sum x_i = 1+2+3+6+8 = 20
\sum y_i = 3+5+7+12+15 = 42
\sum x_i y_i = 1\cdot 3 + 2\cdot 5 + 3\cdot 7 + 6\cdot 12 + 8\cdot 15 = 3+10+21+72+120 = 226
\sum x_i^2 = 1^2+2^2+3^2+6^2+8^2 = 1+4+9+36+64 = 114

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da inclinação a. Substituindo os valores:
a=\frac{5\cdot 226 - 20\cdot 42}{5\cdot 114 - 20^2}=\frac{1130 - 840}{570 - 400}=\frac{290}{170}=\frac{29}{17}.
Aproximando,
a\approx 1,7059.

Passo 5

Calculamos b usando a fórmula do intercepto:
b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}=\frac{42 - \frac{29}{17}\cdot 20}{5}.
Faço as contas com frações:
\frac{29}{17}\cdot 20=\frac{580}{17}, \qquad 42=\frac{714}{17},
42-\frac{580}{17}=\frac{714-580}{17}=\frac{134}{17},
b=\frac{1}{5}\cdot\frac{134}{17}=\frac{134}{85}.
Aproximando,
b\approx 1,5765.

Passo 6

Portanto a reta de mínimos quadrados exata é
y=\frac{29}{17}x+\frac{134}{85}\approx 1,7059x+1,5765.
Agora, como as alternativas são algumas retas já dadas, a forma prática na prova é comparar qual alternativa chega mais próxima da nossa reta de ajuste. Uma maneira objetiva é calcular a soma dos quadrados dos resíduos (SSE) de cada alternativa usando os mesmos pontos e escolher a alternativa com menor SSE. Vou calcular a SSE de cada alternativa: para cada alternativa y=\tilde a x + \tilde b calcule SSE=\sum (y_i - (\tilde a x_i + \tilde b))^2.
Para (a) \tilde a=1,6, \tilde b=1:
predições: 1\mapsto 2,6, 2\mapsto 4,2, 3\mapsto 5,8, 6\mapsto 10,6, 8\mapsto 14,8. Resíduos e quadrados:
(3-2,6)^2=0,16,\quad (5-4,2)^2=0,64,\quad (7-5,8)^2=1,44,
(12-10,6)^2=1,96,\quad (15-14,8)^2=0,04.
Soma:
SSE_{(a)}=0,16+0,64+1,44+1,96+0,04=4,24.
Para (b) \tilde a=1,5, \tilde b=1,2:
predições: 2,7;4,2;5,7;10,2;13,2.
Quadrados dos resíduos:
0,09,\;0,64,\;1,69,\;3,24,\;3,24
SSE_{(b)}=8,90.
Para (c) \tilde a=1,8, \tilde b=0,5:
predições: 2,3;3,6;5,9;11,3;14,9.
Quadrados dos resíduos:
0,49,\;1,96,\;1,21,\;0,49,\;0,01
SSE_{\text{(c)}}=4,16.
Para (d) \tilde a=1,4, \tilde b=1,5:
predições: 2,9;4,3;5,7;10,9;12,7.
Quadrados dos resíduos:
0,01,\;0,49,\;1,69,\;1,21,\;5,29
SSE_{(d)}=8,69.

Passo 7

Comparando os valores de SSE obtidos:
SSE_{(a)}=4,24,\quad SSE_{(b)}=8,90,\quad SSE_{\text{(c)}}=4,16,\quad SSE_{(d)}=8,69.
A menor soma dos quadrados dos resíduos entre as alternativas é SSE_{\text{(c)}}=4,16. Ou seja, dentre as alternativas fornecidas a reta que melhor ajusta os pontos é a alternativa (c). Observação final: a reta de mínimos quadrados exata calculada foi aproximadamente y\approx 1,7059x+1,5765, e a alternativa (c) y=1,8x+0,5 é a mais próxima entre as opções dadas (e também a que apresenta menor SSE).

Resposta

(c) y=1,8x+0,5

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