Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?
x 12368
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não sei
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a reta que melhor ajusta os pontos da tabela. Os pontos, extraídos diretamente do enunciado, são:
.
As alternativas dadas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não sei
As alternativas dadas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não sei
Passo 2
Vamos buscar a reta que minimiza a soma dos quadrados dos erros (método dos mínimos quadrados). Seja a reta genérica
onde
é a inclinação (coeficiente angular) e
é o intercepto (coeficiente linear). Para cada ponto
definimos o resíduo
. A soma dos quadrados dos resíduos é
Os valores ótimos
e
são obtidos anulando as derivadas parciais de
em relação a
e
. O resultado padrão (fórmulas que você deve decorar para prova) é:
Aqui
é o número de pontos,
é a soma das abscissas,
soma das ordenadas,
soma dos produtos e
soma dos quadrados das abscissas. Essas fórmulas vêm de resolver um sistema linear (condições normais) e são a forma rápida para calcular a reta de ajuste no exame sem derivar tudo na hora.
Passo 3
Calculemos as somas necessárias a partir dos pontos listados:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da inclinação
. Substituindo os valores:
Aproximando,
Passo 5
Calculamos
usando a fórmula do intercepto:
Faço as contas com frações:
Aproximando,
Passo 6
Portanto a reta de mínimos quadrados exata é
Agora, como as alternativas são algumas retas já dadas, a forma prática na prova é comparar qual alternativa chega mais próxima da nossa reta de ajuste. Uma maneira objetiva é calcular a soma dos quadrados dos resíduos (SSE) de cada alternativa usando os mesmos pontos e escolher a alternativa com menor SSE. Vou calcular a SSE de cada alternativa: para cada alternativa
calcule
.
Para (a)
,
:
predições: ,
,
,
,
. Resíduos e quadrados:
predições:
Soma:
Para (b)
,
:
predições: .
Quadrados dos resíduos:
predições:
Quadrados dos resíduos:
Para (c)
,
:
predições: .
Quadrados dos resíduos:
predições:
Quadrados dos resíduos:
Para (d)
,
:
predições: .
Quadrados dos resíduos:
predições:
Quadrados dos resíduos:
Passo 7
Comparando os valores de
obtidos:
A menor soma dos quadrados dos resíduos entre as alternativas é
. Ou seja, dentre as alternativas fornecidas a reta que melhor ajusta os pontos é a alternativa (c). Observação final: a reta de mínimos quadrados exata calculada foi aproximadamente
, e a alternativa (c)
é a mais próxima entre as opções dadas (e também a que apresenta menor SSE).
Resposta
(c)