Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?
x 24579
\begin{array}{llllll}y & 3 & 6 & 8 & 12 & 15\end{array}
(a) y=1,5 x
(b) y=x+1
(c) y=1,6 x-0,2
(d) y=1,3 x+1
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela?” Os pontos dados na tabela (peguei os valores da linha de x e da linha de y que você enviou) são:
(2,3),\\ (4,6),\\ (5,8),\\ (7,12),\\ (9,15).
As opções dadas são:
(a) \;y=1,5x
(b) \;y=x+1
(c) \;y=1,6x-0,2
(d) \;y=1,3x+1
(e) Não sei

Passo 2

Vou usar o método dos mínimos quadrados (regressão linear) para encontrar a reta que melhor ajusta os pontos. Explico a teoria de forma simples e direta:
A reta ajustada tem forma \;y = a + bx, onde:
  • \;b é o coeficiente angular (inclinação) — diz quanto y muda quando x aumenta 1;
  • \;a é o coeficiente linear (intercepto) — valor de y quando x=0.
As fórmulas dos mínimos quadrados (que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos) são:
b = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}
a = \bar{y} - b\,\bar{x}
Aqui \;n é o número de pontos, \;\bar{x} é a média de x_i e \;\bar{y} é a média de y_i. Vou calcular passo a passo.

Passo 3

Calculemos n, as somas e as médias:
n=5
\sum x_i = 2+4+5+7+9 = 27\quad\Rightarrow\quad \bar{x}=\frac{27}{5}=5,4
\sum y_i = 3+6+8+12+15 = 44\quad\Rightarrow\quad \bar{y}=\frac{44}{5}=8,8

Passo 4

Agora calculamos os termos (x_i-\bar{x}), (y_i-\bar{y}), seus produtos e os quadrados de (x_i-\bar{x}). Faço linha a linha:
Para (2,3):
x_1-\bar{x}=2-5,4=-3,4,\qquad y_1-\bar{y}=3-8,8=-5,8
(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})=(-3,4)(-5,8)=19,72,\qquad (x_1-\bar{x})^2=11,56
Para (4,6):
x_2-\bar{x}=4-5,4=-1,4,\qquad y_2-\bar{y}=6-8,8=-2,8
(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})=(-1,4)(-2,8)=3,92,\qquad (x_2-\bar{x})^2=1,96
Para (5,8):
x_3-\bar{x}=5-5,4=-0,4,\qquad y_3-\bar{y}=8-8,8=-0,8
(x_3-\bar{x})(y_3-\bar{y})=(-0,4)(-0,8)=0,32,\qquad (x_3-\bar{x})^2=0,16
Para (7,12):
x_4-\bar{x}=7-5,4=1,6,\qquad y_4-\bar{y}=12-8,8=3,2
(x_4-\bar{x})(y_4-\bar{y})=(1,6)(3,2)=5,12,\qquad (x_4-\bar{x})^2=2,56
Para (9,15):
x_5-\bar{x}=9-5,4=3,6,\qquad y_5-\bar{y}=15-8,8=6,2
(x_5-\bar{x})(y_5-\bar{y})=(3,6)(6,2)=22,32,\qquad (x_5-\bar{x})^2=12,96

Passo 5

Somamos os valores obtidos:
\sum_{i=1}^5 (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=19,72+3,92+0,32+5,12+22,32=51,40
\sum_{i=1}^5 (x_i-\bar{x})^2=11,56+1,96+0,16+2,56+12,96=29,20

Passo 6

Calculamos a inclinação \;b e o intercepto \;a:
b=\frac{51,40}{29,20}\approx1,7603
a=\bar{y}-b\,\bar{x}=8,8 - 1,7603\cdot 5,4 \approx 8,8 - 9,502 \approx -0,702
Portanto a reta pelo método dos mínimos quadrados (exata para nossos dados) é aproximadamente:
y \approx -0,702 + 1,760\,x.
Nenhuma das alternativas dá exatamente essa reta. Então escolhemos a alternativa que, entre as opções fornecidas, produz o menor erro total (soma dos quadrados dos resíduos).

Passo 7

Vou calcular a soma dos quadrados dos resíduos (SSE) para cada alternativa e escolher a menor. Defino para cada reta candidata \hat{y}_i e resíduos r_i=y_i-\hat{y}_i. SSE =\sum r_i^2.
(a) \;y=1,5x
\hat{y}:\\\ 3,0,\\\ 6,0,\\\ 7,5,\\\ 10,5,\\\ 13,5
Resíduos: 0,\\\ 0,\\\ 0,5,\\\ 1,5,\\\ 1,5. Quadrados: 0,\\\ 0,\\\ 0,25,\\\ 2,25,\\\ 2,25.
\text{SSE}_a = 4,75
(b) \;y=x+1
\hat{y}:\\\ 3,\\\ 5,\\\ 6,\\\ 8,\\\ 10
Resíduos: 0,\\\ 1,\\\ 2,\\\ 4,\\\ 5. Quadrados: 0,\\\ 1,\\\ 4,\\\ 16,\\\ 25.
\text{SSE}_b = 46
(c) \;y=1,6x-0,2
\hat{y}:\\\ 3,0,\\\ 6,2,\\\ 7,8,\\\ 11,0,\\\ 14,2
Resíduos: 0,\\\ -0,2,\\\ 0,2,\\\ 1,\\\ 0,8. Quadrados: 0,\\\ 0,04,\\\ 0,04,\\\ 1,\\\ 0,64.
\text{SSE}_c = 1,72
(d) \;y=1,3x+1
\hat{y}:\\\ 3,6,\\\ 6,2,\\\ 7,5,\\\ 10,1,\\\ 12,7
Resíduos: -0,6,\\\ -0,2,\\\ 0,5,\\\ 1,9,\\\ 2,3. Quadrados: 0,36,\\\ 0,04,\\\ 0,25,\\\ 3,61,\\\ 5,29.
\text{SSE}_d = 9,55
Comparando os \text{SSE}: \text{SSE}_c=1,72 é a menor de todas, ou seja, a alternativa (c) é a que melhor ajusta os pontos entre as opções dadas.

Resposta

(c) \;y=1,6x-0,2

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