Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximaçāo para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,6018, utilizando um polinômio do primeiro grau.
x 30 35 45
f(x) 0,500 0,5736 0,7071
(a) 39,82
(b) 36,50
(c) 37,11
(d) 37,98
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a melhor aproximação para x^{*} tal que f\left(x^{*}\right)=0,6018 usando um polinômio do primeiro grau (ou seja, uma reta). A tabela fornecida (vou copiar os dados da tabela) é:
\begin{array}{c|c|c|c} x & 30 & 35 & 45\\hline f(x) & 0,500 & 0,5736 & 0,7071 \end{array}
Temos portanto os pontos (30,\,0,500), (35,\,0,5736) e (45,\,0,7071). O valor alvo 0,6018 está entre 0,5736 e 0,7071, então faz sentido usar a reta que interpola os pontos que contêm esse intervalo.

Passo 2

Explico qual reta vamos usar e por quê: um polinômio do primeiro grau é uma função da forma
p(x)=ax+b,
onde a é a inclinação (quanto p muda quando x aumenta de 1) e b é o valor em x=0. Para interpolação linear entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) a fórmula mais direta é usar a inclinação
a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
e então escrever
p(x)=a(x-x_1)+y_1.
Aqui vou escolher os dois pontos que “abraçam” o valor buscado 0,6018, isto é (35,\,0,5736) e (45,\,0,7071), porque 0,6018 está entre 0,5736 e 0,7071.

Passo 3

Calculo a inclinação a entre (35,\,0,5736) e (45,\,0,7071). Usando a fórmula da inclinação:
a=\frac{0,7071-0,5736}{45-35}.
Faço a subtração no numerador e no denominador:
0,7071-0,5736=0,1335,\qquad 45-35=10.
Logo
a=\frac{0,1335}{10}=0,01335.
Interpretação: isso significa que, segundo a reta que liga os dois pontos, ao aumentar x em 1 o valor de f(x) aumenta em aproximadamente 0,01335.

Passo 4

Escrevo a reta interpoladora usando o ponto (35,\,0,5736):
p(x)=a(x-35)+0,5736.
Substituindo a=0,01335 obtemos
p(x)=0,01335\,(x-35)+0,5736.
Se preferir em forma p(x)=ax+b, posso expandir:
p(x)=0,01335x-0,01335\cdot35+0,5736.
Calculo o termo constante:
0,01335\cdot35=0,46725,
então
p(x)=0,01335x-0,46725+0,5736=0,01335x+0,10635.

Passo 5

Agora imponho p(x)=0,6018 e resolvo para x:
0,01335x+0,10635=0,6018.
Subtraio 0,10635 de ambos os lados:
0,01335x=0,6018-0,10635.
Calculo a diferença:
0,6018-0,10635=0,49545.
Então
x=\frac{0,49545}{0,01335}.

Passo 6

Faço a divisão para obter x:
x=\frac{0,49545}{0,01335}\approx 37,11273\ldots
Arredondando para duas casas decimais (como as alternativas estão em duas casas) obtemos
x^{*}\approx 37,11.
Verificação rápida de coerência: 37,11 está entre 35 e 45 e mais próximo de 35, o que faz sentido porque 0,6018 está mais perto de 0,5736 do que de 0,7071.

Resposta

(c) 37,11

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