Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximaçāo para
tal que
, utilizando um polinômio do primeiro grau.
30
35
45
0,500
0,5736
0,7071
(a) 39,82
(b) 36,50
(c) 37,11
(d) 37,98
(e) Não sei
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30 | 35 | 45 |
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0,500 | 0,5736 | 0,7071 |
(b) 36,50
(c) 37,11
(d) 37,98
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a melhor aproximação para
tal que
usando um polinômio do primeiro grau (ou seja, uma reta). A tabela fornecida (vou copiar os dados da tabela) é:
Temos portanto os pontos
,
e
. O valor alvo
está entre
e
, então faz sentido usar a reta que interpola os pontos que contêm esse intervalo.
Passo 2
Explico qual reta vamos usar e por quê: um polinômio do primeiro grau é uma função da forma
onde
é a inclinação (quanto
muda quando
aumenta de 1) e
é o valor em
. Para interpolação linear entre dois pontos
e
a fórmula mais direta é usar a inclinação
e então escrever
Aqui vou escolher os dois pontos que “abraçam” o valor buscado
, isto é
e
, porque
está entre
e
.
Passo 3
Calculo a inclinação
entre
e
. Usando a fórmula da inclinação:
Faço a subtração no numerador e no denominador:
Logo
Interpretação: isso significa que, segundo a reta que liga os dois pontos, ao aumentar
em
o valor de
aumenta em aproximadamente
.
Passo 4
Escrevo a reta interpoladora usando o ponto
:
Substituindo
obtemos
Se preferir em forma
, posso expandir:
Calculo o termo constante:
então
Passo 5
Agora imponho
e resolvo para
:
Subtraio
de ambos os lados:
Calculo a diferença:
Então
Passo 6
Faço a divisão para obter
:
Arredondando para duas casas decimais (como as alternativas estão em duas casas) obtemos
Verificação rápida de coerência:
está entre
e
e mais próximo de
, o que faz sentido porque
está mais perto de
do que de
.
Resposta
(c)