Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela a seguir?
x y
1 2
2 4
3 5
4 7
5 9
(a) y=1,1 x-0,2
(b) y=-1,1 x-0,2
(c) y=1,1 x+0,2
(d) y=-1,1 x-0,2
(e) Nằc sei

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a reta que melhor ajusta os pontos da tabela?”
Os pontos dados são, tirados da tabela: (1,2), (2,4), (3,5), (4,7), (5,9).
As alternativas fornecidas são:
(a) \;y=1,1x-0,2
(b) \;y=-1,1x-0,2
(c) \;y=1,1x+0,2
(d) \;y=-1,1x-0,2
(e) \;Nằc sei

Passo 2

O que significa “reta que melhor ajusta”? Aqui vamos usar o método dos mínimos quadrados (regressão linear simples). A ideia é achar uma reta
y = a + bx
que minimize a soma dos quadrados dos erros (diferenças verticais entre os pontos observados y_i e os valores previstos \hat{y}_i = a + b x_i).
As fórmulas diretas que vamos usar (e que eu vou explicar) são:
b = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}} \quad\text{e}\quad a = \bar{y} - b\bar{x},
onde \bar{x} é a média dos x_i e \bar{y} é a média dos y_i.
Explicação curta: b é a inclinação que relaciona como y varia quando x varia (ajustada para variações em torno das médias) e a é o valor previsto de y quando x=0.

Passo 3

Vamos calcular somas e quantidades necessárias. Temos n=5 pontos. Calculemos:
\sum x_i = 1+2+3+4+5 = 15,
\sum y_i = 2+4+5+7+9 = 27,
\sum x_i^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 = 1+4+9+16+25 = 55,
\sum x_i y_i = 1\cdot2 + 2\cdot4 + 3\cdot5 + 4\cdot7 + 5\cdot9 = 2+8+15+28+45 = 98.

Passo 4

Calculemos as médias \bar{x} e \bar{y}:
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{15}{5} = 3,
\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{27}{5} = 5,4.

Passo 5

Vou usar também a fórmula equivalente prática para b:
b = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}.
Substituindo os valores que calculamos:
b = \frac{5\cdot 98 - 15\cdot 27}{5\cdot 55 - 15^2} = \frac{490 - 405}{275 - 225} = \frac{85}{50}.
Agora calculemos a divisão:
\frac{85}{50} = \frac{17}{10} = 1,7.
Portanto \;b = 1,7.

Passo 6

Agora encontramos a usando a = \bar{y} - b\bar{x}:
a = 5,4 - 1,7\cdot 3 = 5,4 - 5,1 = 0,3.
Logo a = 0,3.

Passo 7

A reta de mínimos quadrados (reta que melhor ajusta pelos mínimos quadrados) é
y = 0,3 + 1,7x,
ou escrevendo na forma mais usual
y = 1,7x + 0,3.

Passo 8

Comparemos com as alternativas dadas. As alternativas com coeficiente 1,1 ou coeficiente negativo não coincidem com 1,7 e 0,3. Portanto nenhuma das alternativas (a)–(d) é igual à reta encontrada. Restando, das opções dadas, apenas (e) que diz não saber. Como nós calculamos explicitamente a reta, a resposta correta entre as alternativas fornecidas é que nenhuma das (a)–(d) corresponde ao ajuste ótimo; a reta correta é y=1,7x+0,3.

Resposta

y=1,7x+0,3

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