Considere
f(x)=ln (x)-1
Inicie em x0=2. Faça 4 iterações de Newton-Raphson, apresentando a sequência xk e .

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem
f(x)=ln(x)-1
e que vamos começar em f'(x)=1x . O objetivo é usar o método de Newton–Raphson (que é da parte de cálculo diferencial) para achar a raiz de xn+1=xn-f(xn)f'(xn) , ou seja, o tal que . Pra isso a gente precisa da derivada
e da fórmula clássica de Newton:
Fazendo 4 iterações, a gente deve apresentar a sequência .

Passo 2

A ideia do Newton–Raphson é aproximar a raiz cortando a reta tangente à curva em cada ponto xn+1=xn-f(xn)f'(xn) .
  1. Calcula-se e .
  2. Atualiza-se
Repetimos isso até esgotar as 4 iterações.

Passo 3

Iteração 1 ( x1=2--0.30685280.5=2+0.6137056=2.6137056 ):
  • f(x1)=ln(2.6137056)-1approx-0.0390018
  • Logo
  • E

Passo 4

Iteração 2 ( x2=2.6137056--0.03900180.3825509 =2.6137056+0.1019862 =2.7156918 ):
  • f(x2)=ln(2.7156918)-1approx-0.0009518
  • Então
  • E

Passo 5

Iteração 3 ( x3=2.7156918--0.00095180.3681823 =2.7156918+0.0025860 =2.7182778 ):
  • f(x3)=ln(2.7182778)-1approx-0.0000015
  • Assim
  • E

Passo 6

Iteração 4 ( x4=2.7182778--0.00000150.3678798 =2.7182778+0.0000041 =2.7182819 ):
  • f(x4)=ln(2.7182819)-1approx4.1times10^-7
  • Logo
  • E

Resposta

A sequência ficou assim:
x₀=2,  f(x₀)≈−0.3068528
x₁≈2.6137056, f(x₁)≈−0.0390018
x₂≈2.7156918, f(x₂)≈−0.0009518
x₃≈2.7182778, f(x₃)≈−0.0000015
x₄≈2.7182819, f(x₄)≈4.1×10⁻⁷

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