Resolva, via Newton-Raphson, a equação
x sin (x)=1
começando em x0=1. Calcule 4 iterações, mostrando os valores de xk.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente encontrar a solução da equação
x sin(x) = 1
usando o método de Newton–Raphson, começando em xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) e fazendo 4 iterações.
Isso é conteúdo de métodos numéricos (ou análise numérica), em que a gente usa a derivada da função pra “acertar” o palpite. Vai precisar saber:
  • como montar a função cuja raiz queremos;
  • como derivar essa função;
  • e como aplicar a fórmula do Newton–Raphson

Passo 2

Definimos
f(x) = xsin(x) - 1, f'(x) = ddxl(xsin xr) = sin(x) + xcos(x)
O método diz pra atualizar
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos aplicar isso 4 vezes, a partir de .

Passo 3

Iteração 1 (de f(1) = 1cdotsin(1)-1 approx 0,84147 - 1 = -0,15853, para f'(1) = sin(1) + 1cdotcos(1) approx 0,84147 + 0,54030 = 1,38177 ):
Calculemos
x1 = 1 - -0.158531.38177 approx 1 + 0.11470 = 1,11470
Então

Passo 4

Iteração 2 (de f(1.11470) approx 1.11470cdotsin(1.11470) - 1 approx 1.00000 - 1 = -0.00016, para f'(1.11470) approx sin(1.11470) + 1.11470cdotcos(1.11470) approx 0.89692 + 0.49264 = 1.38956 ):
x2 = 1.11470 - -0.000161.38956 approx 1.11470 + 0.00012 = 1,11482
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Passo 5

Iteração 3 (de f(1.11482) approx 1.11482cdotsin(1.11482) - 1 approx -0.0000003, para f'(1.11482) approx sin(1.11482) + 1.11482cdotcos(1.11482) approx 1.38957 ):
x3 = 1.11482 - -0.00000031.38957 approx 1.11482 + 0.0000002 = 1,11482
Então

Passo 6

Iteração 4 (de x4 approx 1,11482 para ):
Nesse ponto já está tão próximo de zero que a correção é minúscula, e obtemos

Resposta

As aproximações sucessivas são (começando de x1 approx 1,11470, x2 approx 1,11482, x3 approx 1,11482, x4 approx 1,11482 ):
boxed1,11482
Ou seja, a raiz converge para aproximadamente

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