Considere f(x)=x^2-p. Por que o processo iterativo dado por xn+1=pxn, que surge da equação x^2=p, não converge para raizp independentemente da aproximação inicial?

Passo 1

Beleza, então o enunciado é: temos a função
f(x)=x^2-p
e, a partir de xn+1=pxn, o método de iteração proposto é
A pergunta é: por que esse esquema não converge para seja lá qual for a aproximação inicial ?
Conteúdo: método de ponto-fixo e teste de convergência por derivada (contracção). Vamos precisar entender:
  1. o que são pontos-fixos de uma iteração;
  2. o critério de convergência usando ;
  3. comportamento de órbitas (possível oscilação).

Passo 2

Primeiro, definimos a função de iteração
g(x)=px
Um ponto-fixo é x^*=g(x^*)Longrightarrow x^*=px^*Longrightarrow (x^*)^2=p;Rightarrow;x^*=pmraizp tal que

Passo 3

Para ver se a iteração converge para um desses fixos, usamos o teste de derivada:
g'(x)=-px^2
A condição de contracção (e atração do ponto-fixo) é
l|g'(x^*)r|<1
Vamos avaliar em g'(raizp)=-p(raizp)^2=-1,:
logo .

Passo 4

Quando x1=px0, x2=px1=ptfracpx0=x0 , o ponto-fixo não é atraente, ou seja, o método não “puxa” a iteração pra lá. Na verdade, se você começa com qualquer x0;to;x1;to;x0;to;x1;cdots , acontece que
Isso mostra que a sequência entra num ciclo de período 2:
em vez de se estabilizar em .

Passo 5

Resumindo a teoria aplicada:
  • Para convergir num esquema de ponto-fixo , precisamos de .
  • Aqui , ou seja, não satisfaz o critério de contracção.
  • Consequência prática: a iteração não chega em , mas sim oscila entre dois valores.

Resposta

O processo não converge para a partir de qualquer chute , porque o único ponto-fixo atraente exigiria , mas aqui . Na prática, isso faz a sequência alternar de volta para num ciclo de período 2 em vez de se estabilizar em .

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