Considere . Por que o processo iterativo dado por , que surge da equação , não converge para independentemente da aproximação inicial?
Passo 1
Beleza, então o enunciado é: temos a função
e, a partir de , o método de iteração proposto é
A pergunta é: por que esse esquema não converge para seja lá qual for a aproximação inicial ?
Conteúdo: método de ponto-fixo e teste de convergência por derivada (contracção). Vamos precisar entender:
o que são pontos-fixos de uma iteração;
o critério de convergência usando ;
comportamento de órbitas (possível oscilação).
Passo 2
Primeiro, definimos a função de iteração
g(x)=px
Um ponto-fixo é x^*=g(x^*)Longrightarrow x^*=px^*Longrightarrow (x^*)^2=p;Rightarrow;x^*=pmraizp tal que
Passo 3
Para ver se a iteração converge para um desses fixos, usamos o teste de derivada:
g'(x)=-px^2
A condição de contracção (e atração do ponto-fixo) é
l|g'(x^*)r|<1
Vamos avaliar em g'(raizp)=-p(raizp)^2=-1,:
logo .
Passo 4
Quando x1=px0, x2=px1=ptfracpx0=x0 , o ponto-fixo não é atraente, ou seja, o método não “puxa” a iteração pra lá. Na verdade, se você começa com qualquer x0;to;x1;to;x0;to;x1;cdots , acontece que
Isso mostra que a sequência entra num ciclo de período 2:
em vez de se estabilizar em .
Passo 5
Resumindo a teoria aplicada:
Para convergir num esquema de ponto-fixo , precisamos de .
Aqui , ou seja, não satisfaz o critério de contracção.
Consequência prática: a iteração não chega em , mas sim oscila entre dois valores.
Resposta
O processo não converge para a partir de qualquer chute , porque o único ponto-fixo atraente exigiria , mas aqui . Na prática, isso faz a sequência alternar de volta para num ciclo de período 2 em vez de se estabilizar em .