Considere Fn a sequência de Fibonacci. Mostre que:
sumi=1^n F2 i-1=F2 n;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que na sequência de Fibonacci sumi=1^n F2i-1 ;=; F2n a soma dos termos de índice ímpar até o é justamente o termo de índice . Ou seja, mostrar que
O conteúdo aqui é sequência de Fibonacci e prova por indução. Para resolver isso, a gente vai precisar:
  1. Saber a definição básica de Fibonacci: , e .
  2. Entender o esquema de prova por indução (base + passo indutivo).

Passo 2

Antes de tudo, revisando a teoria:
  • Fibonacci é definida recursivamente.
  • Prova por indução serve para mostrar que uma afirmação vale para todo :
    • Base: confere que vale para .
    • Passo indutivo: assume que vale para certo e mostra que daí vale para .

Passo 3

Base ( ):
Lado esquerdo: .
Lado direito: .
Logo, para . Base conferida!

Passo 4

Passo indutivo:
Suponha que para um certo sumi=1^nF2i-1 ;=; F2n qualquer a gente já tenha
sumi=1^n+1F2i-1 = gl(sumi=1^nF2i-1gr) + F2(n+1)-1 = F2n + F2n+1,
Aí analisa a soma até F2n + F2n+1 ;=; F2n+2 ;=; F2(n+1), :
usando a hipótese indutiva no primeiro termo.
Mas pela própria definição de Fibonacci, .
Então
exatamente o que precisava para fechar a indução.

Passo 5

Concluímos que, base + passo indutivo, a fórmula vale para todo .

Resposta

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