Considere
a sequência de Fibonacci. Mostre que:
;
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que na sequência de Fibonacci
a soma dos termos de índice ímpar até o
é justamente o termo de índice
. Ou seja, mostrar que
O conteúdo aqui é sequência de Fibonacci e prova por indução. Para resolver isso, a gente vai precisar:
- Saber a definição básica de Fibonacci:
, e . - Entender o esquema de prova por indução (base + passo indutivo).
Passo 2
Antes de tudo, revisando a teoria:
- Fibonacci é definida recursivamente.
- Prova por indução serve para mostrar que uma afirmação vale para todo
: - Base: confere que vale para
. - Passo indutivo: assume que vale para certo
e mostra que daí vale para .
- Base: confere que vale para
Passo 3
Base (
):
Lado esquerdo: .
Lado direito: .
Logo, para dá
. Base conferida!
Lado esquerdo:
Lado direito:
Logo, para
Passo 4
Passo indutivo:
Suponha que para um certo qualquer a gente já tenha
Suponha que para um certo
Aí analisa a soma até
:
usando a hipótese indutiva no primeiro termo.
Mas pela própria definição de Fibonacci, .
Então
Mas pela própria definição de Fibonacci,
Então
exatamente o que precisava para fechar a indução.
Passo 5
Concluímos que, base + passo indutivo, a fórmula vale para todo
.