Use o princípio da indução para provar as seguintes desigualdades:
2^n-1(a^n+b^n)>(a+b)^n, forall n in N, com a, b in R, a+b>0 e a neq b ;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra provar por indução que, para todo ninN, vale
2^n-1l(a^n + b^nr);>;(a+b)^n
onde a,binR satisfazem a+b>0 e aneq b.
Conteúdo: princípio da indução finita e manipulações de desigualdades (fatoração, comparação de potências). Vamos precisar:
1) Verificar um caso-base (a partir de n=2, pois em n=1 a desigualdade seria igualdade).
2) Hipótese de indução para n=k.
3) Mostrar que isso implica o caso n=k+1, usando fatorações e o fato de, sem perda de generalidade, a>b, (se b>a, basta trocar os papéis).

Passo 2

Caso-base ( n=2):
Queremos ver se
2^2-1(a^2 + b^2);>;(a+b)^2,
O lado esquerdo é 2(a^2+b^2) e o direito é a^2 + 2ab + b^2.
Então comparamos:
2a^2 + 2b^2 ;-;(a^2 + 2ab + b^2);=;(a^2 - 2ab + b^2);=;(a-b)^2,
Como aneq b, temos (a-b)^2>0, logo
2(a^2 + b^2)>(a+b)^2
e o caso-base está ok.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k>=2 já vale
2^k-1l(a^k + b^kr);>;(a+b)^k,

Passo 4

Queremos mostrar que daí segue
2^kl(a^k+1 + b^k+1r);>;(a+b)^,k+1,
Começamos multiplicando a hipótese por a+b>0:
(a+b),2^k-1l(a^k + b^kr);>;(a+b)^k+1, tag1
Se conseguirmos provar também que
2^kl(a^k+1+b^k+1r);>=;(a+b),2^k-1l(a^k + b^kr),, tag2
então, juntando (2) com (1), teremos a cadeia
2^kl(a^k+1+b^k+1r);>=;(a+b),2^k-1(a^k+b^k);>;(a+b)^k+1,
o que é justamente o passo indutivo.
Resta mostrar (2), ou seja
2l(a^k+1+b^k+1r);>=;(a+b)l(a^k+b^kr)
Faço a diferença entre os dois lados:
2l(a^k+1+b^k+1r);-;(a+b)(a^k+b^k) &=2a^k+1+2b^k+1;-;(a^k+1+a,b^k+b,a^k+b^k+1) &=a^k+1+b^k+1;-;(a,b^k+b,a^k) &=a^k(a-b);-;b^k(a-b) &=(a^k-b^k),(a-b)
Como aneq b, sem perda de generalidade assumimos a>b, daí (a-b)>0 e a^k>b^k, logo (a^k-b^k)>0. Assim
(a^k-b^k)(a-b)>0
e a desigualdade (2) fica provada.

Passo 5

Juntando tudo:
  • Base n=2 ok.
  • Se vale para n=k, então vale para n=k+1.
Portanto, por indução, para todo ninN (com n>=2) temos
boxed2^n-1l(a^n + b^nr);>;(a+b)^n,

Resposta

A desigualdade é verdadeira para todo ninN, a+b>0 e aneq b, conforme demonstrado por indução.

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