Use o princípio da indução para provar as seguintes desigualdades: , com e
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra provar por indução que, para todo , vale
onde satisfazem e .
Conteúdo: princípio da indução finita e manipulações de desigualdades (fatoração, comparação de potências). Vamos precisar:
1) Verificar um caso-base (a partir de , pois em a desigualdade seria igualdade).
2) Hipótese de indução para .
3) Mostrar que isso implica o caso , usando fatorações e o fato de, sem perda de generalidade, (se , basta trocar os papéis).
Passo 2
Caso-base ():
Queremos ver se
O lado esquerdo é e o direito é .
Então comparamos:
Como , temos , logo
e o caso-base está ok.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum já vale
Passo 4
Queremos mostrar que daí segue
Começamos multiplicando a hipótese por :
Se conseguirmos provar também que
2^kl(a^k+1+b^k+1r);>=;(a+b),2^k-1l(a^k + b^kr),, tag2
então, juntando (2) com (1), teremos a cadeia 2^kl(a^k+1+b^k+1r);>=;(a+b),2^k-1(a^k+b^k);>;(a+b)^k+1,
o que é justamente o passo indutivo.
Resta mostrar (2), ou seja
2l(a^k+1+b^k+1r);>=;(a+b)l(a^k+b^kr)
Faço a diferença entre os dois lados: 2l(a^k+1+b^k+1r);-;(a+b)(a^k+b^k) &=2a^k+1+2b^k+1;-;(a^k+1+a,b^k+b,a^k+b^k+1) &=a^k+1+b^k+1;-;(a,b^k+b,a^k) &=a^k(a-b);-;b^k(a-b) &=(a^k-b^k),(a-b)
Como aneq b, sem perda de generalidade assumimos a>b, daí (a-b)>0 e a^k>b^k, logo (a^k-b^k)>0. Assim (a^k-b^k)(a-b)>0
e a desigualdade (2) fica provada.
Passo 5
Juntando tudo:
Base n=2 ok.
Se vale para n=k, então vale para n=k+1.
Portanto, por indução, para todo ninN (com n>=2) temos
boxed2^n-1l(a^n + b^nr);>;(a+b)^n,
Resposta
A desigualdade é verdadeira para todo ninN, a+b>0 e aneq b, conforme demonstrado por indução.