Use o princípio da indução para provar as seguintes desigualdades:
1raiz1+1raiz2+1raiz3+cdots+1raizn>raizn, para todo n in N;

Passo 1

Beleza, o que o enunciado pede é provar, por indução, que
1raiz1 + 1raiz2 + cdots + 1raiz n ;>;raiz n
para todo .
Conteúdo principal:
  1. Princípio da indução matemática (base e passo indutivo).
  2. Manipulação de radicais e comparação de frações.
    O que vamos precisar:
    • Entender como funciona a “base” e o “efeito dominó” da indução.
    • Racionalizar a diferença para comparar com .

Passo 2

Base da indução.
A gente testa 1raiz1 + 1raiz2 =1 + 1raiz2 approx 1 + 0,707 =1,707 (note que em raiz2approx1,414 dá exatamente , não é estritamente “>\”, então começamos em ):
e
Como , a desigualdade vale para . Portanto a base está ok.

Passo 3

Hipótese de indução.
Suponha que para algum 1raiz1 + 1raiz2 + cdots + 1raiz n ;>;raiz n valha
Isso é o nosso passo de suposição — admitimos que a afirmação vale em para depois mostrar que vale em .

Passo 4

Passo indutivo.
Queremos provar a mesma afirmação para sumk=1^n+11raiz k ;>;raizn+1 , ou seja:
sumk=1^n+11raiz k =l(sumk=1^n1raiz kr) ;+;1raizn+1
Começamos a partir da soma até sumk=1^n+11raiz k > raiz n ;+;1raizn+1 :
raiz n ;+;1raizn+1 ;>;raizn+1
Pela hipótese de indução, sabemos que a parte até 1raizn+1 ;>;raizn+1-raiz n é raizn+1-raiz n =(raizn+1-raiz n)(raizn+1+raiz n)raizn+1+raiz n =(n+1)-nraizn+1+raiz n =1raizn+1+raiz n . Logo
1raizn+1 ;>; 1raizn+1+raiz n
Agora mostramos que
Reescreve aí:
Para ver isso, racionalizamos a diferença de raízes (diferença de quadrados):
Então a desigualdade vira
E isso é claro porque , logo, invertendo:
se então . Aqui trocamos de lado e obtemos
.
Pronto: fechou o passo indutivo.

Resposta

Pela base (em 1raiz1 + 1raiz2 + cdots + 1raiz n ;>;raiz n ) e pelo passo indutivo, concluímos que, para todo ,
Ou seja, a desigualdade está provada por indução.

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