Use o princípio da indução para provar as seguintes desigualdades:
, para todo
;
Passo 1
Beleza, o que o enunciado pede é provar, por indução, que
para todo
.
Conteúdo principal:
Conteúdo principal:
- Princípio da indução matemática (base e passo indutivo).
- Manipulação de radicais e comparação de frações.
O que vamos precisar:
• Entender como funciona a “base” e o “efeito dominó” da indução.
• Racionalizar a diferençapara comparar com .
Passo 2
Base da indução.
A gente testa (note que em
dá exatamente
, não é estritamente “>\”, então começamos em
):
A gente testa
e
Como
, a desigualdade vale para
. Portanto a base está ok.
Passo 3
Hipótese de indução.
Suponha que para algum valha
Suponha que para algum
Isso é o nosso passo de suposição — admitimos que a afirmação vale em
para depois mostrar que vale em
.
Passo 4
Passo indutivo.
Queremos provar a mesma afirmação para , ou seja:
Queremos provar a mesma afirmação para
Começamos a partir da soma até
:
Pela hipótese de indução, sabemos que a parte até
é
. Logo
Agora mostramos que
Reescreve aí:
Para ver isso, racionalizamos a diferença de raízes (diferença de quadrados):
Então a desigualdade vira
E isso é claro porque
, logo, invertendo:
se então
. Aqui trocamos de lado e obtemos
.
Pronto: fechou o passo indutivo.
se
Pronto: fechou o passo indutivo.
Resposta
Pela base (em
) e pelo passo indutivo, concluímos que, para todo
,
Ou seja, a desigualdade está provada por indução.