Considere a forma quadrática:
(1) Encontre
, a matriz associada a esta forma quadrática.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que foi pedido na questão. Temos uma forma quadrática $ Q(x, y, z) = 2xy - z^{2} $. O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Linear, especificamente formas quadráticas e as matrizes associadas a elas. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como uma forma quadrática está relacionada a uma matriz simétrica.
Passo 2
Uma forma quadrática pode ser representada por uma matriz simétrica $ A $ de modo que $ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $, onde $ \mathbf{x} $ é o vetor
. Nossa tarefa é encontrar essa matriz $ A $.
Passo 3
Vamos supor que a matriz $ A $ seja uma matriz 3x3 simétrica, já que temos três variáveis: $ x, y, z $. Então, podemos escrever $ A $ da seguinte maneira:
Aqui, $ a, b, c, d, e, f $ são os elementos que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, calculamos $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $:
Sabemos que isso deve ser igual a $ Q(x, y, z) = 2xy - z^{2} $.
Passo 5
Vamos igualar os coeficientes de cada termo:
Resolvendo essas equações, temos:
Resposta
Portanto, a matriz associada à forma quadrática é: