Considere a forma quadrática:
Q(x, y, z)=2 x y-z^2
(1) Encontre A, a matriz associada a esta forma quadrática.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que foi pedido na questão. Temos uma forma quadrática $ Q(x, y, z) = 2xy - z^{2} $. O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Linear, especificamente formas quadráticas e as matrizes associadas a elas. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como uma forma quadrática está relacionada a uma matriz simétrica.

Passo 2

Uma forma quadrática pode ser representada por uma matriz simétrica $ A $ de modo que $ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $, onde $ \mathbf{x} $ é o vetor A . Nossa tarefa é encontrar essa matriz $ A $.

Passo 3

Vamos supor que a matriz $ A $ seja uma matriz 3x3 simétrica, já que temos três variáveis: $ x, y, z $. Então, podemos escrever $ A $ da seguinte maneira:
A
Aqui, $ a, b, c, d, e, f $ são os elementos que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, calculamos $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $:
x^T A x
Sabemos que isso deve ser igual a $ Q(x, y, z) = 2xy - z^{2} $.

Passo 5

Vamos igualar os coeficientes de cada termo:
a = 0 2b = 2 2c = 0 d = 0 2e = 0 f = -1
Resolvendo essas equações, temos:
b = 1, c = 0, e = 0, a = 0, d = 0, f = -1

Resposta

Portanto, a matriz associada à forma quadrática é:
A = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1

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