(1) Defina um operador A autor-adjunto.

Passo 1

Beleza, o enunciado é bem direto: “Defina um operador autor-adjunto.”
Conteúdo: teoria de operadores em espaços com produto interno (espaços de Hilbert ou com produto interno).
O que vamos precisar:
  • Saber o que é o adjunto de um operador .
  • Entender produto interno e domínio de um operador.

Passo 2

Primeiro, lembra do operador adjunto. Se você tem um operador linear lang<= A x, yrang<= ;=;lang<= x,,A^* yrang<= para todos x,y no domínio apropriado em um espaço com produto interno , o adjunto é definido por:
í
Isso significa que “passa” do primeiro para o segundo argumento do produto interno, conjugando se for complexo.

Passo 3

Com isso na mão, um operador A x ;=;A^* x é autor-adjunto quando ele é igual ao seu adjunto. Em termos formais:
  1. O domínio de lang<= A x,,yrang<= =lang<= x,,A yrang<= coincide com o domínio de .
  2. Para todo vetor nesse domínio vale
Outra maneira de ver: para todo do domínio,
Na prática, em isso significa que a matriz de é igual à sua conjugada-transposta ( ), ou seja, é hermitiana.

Resposta

Um operador lang<= A x,,yrang<= ;=;lang<= x,,A yrang<= forall,x,y é autor-adjunto se, e somente se,
  1. ,
  2. para todo nesse domínio, .
    Equivalente:

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