(1) Defina um operador
autor-adjunto.
Passo 1
Beleza, o enunciado é bem direto: “Defina um operador
autor-adjunto.”
Conteúdo: teoria de operadores em espaços com produto interno (espaços de Hilbert ou com produto interno).
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de operadores em espaços com produto interno (espaços de Hilbert ou
O que vamos precisar:
- Saber o que é o adjunto
de um operador . - Entender produto interno e domínio de um operador.
Passo 2
Primeiro, lembra do operador adjunto. Se você tem um operador linear
em um espaço com produto interno
, o adjunto
é definido por:
Isso significa que
“passa”
do primeiro para o segundo argumento do produto interno, conjugando se for complexo.
Passo 3
Com isso na mão, um operador
é autor-adjunto quando ele é igual ao seu adjunto. Em termos formais:
- O domínio de
coincide com o domínio de . - Para todo vetor
nesse domínio vale
Outra maneira de ver: para todo
do domínio,
Na prática, em
isso significa que a matriz de
é igual à sua conjugada-transposta (
), ou seja, é hermitiana.
Resposta
Um operador
é autor-adjunto se, e somente se,
-
, - para todo
nesse domínio, .
Equivalente: