Considere a transformação linear T: R^4 R^3 definida pela matriz:
A=[cccc 1 & 2 & 1 & 3 2 & 4 & 0 & 2 -1 & -2 & 2 & -1 ]
(1) Determine uma base para o espaço coluna de A.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação linear $ T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $ representada por uma matriz $ A $ de tamanho $ 3 \times 4 $. A tarefa é encontrar uma base para o espaço coluna de $ A $. Isso envolve entender o que é espaço coluna e como encontrar vetores que formem uma base para ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o espaço coluna de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das suas colunas. Para encontrar uma base desse espaço, precisamos identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes, ou seja, que nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação das outras.

Passo 3

Uma maneira eficiente de encontrar as colunas que formam uma base é realizar a redução por linha (ou eliminação de Gauss) na matriz $ A $. Essa técnica nos ajuda a identificar quais colunas têm pivôs, que correspondem às colunas linearmente independentes.

Passo 4

Vamos começar com a matriz $ A $:
A
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada por linhas.

Passo 5

Primeiro, usamos o elemento $ a_{11} = 1 $ como nosso pivô. Vamos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna.
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
a11 = 1
  • Adicionar a primeira linha à terceira linha:
Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1 Rightarrow 2 - 2(1) = 0, 4 - 2(2) = 0, 0 - 2(1) = -2, 2 - 2(3) = -4
Agora, a matriz fica:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 1 Rightarrow -1 + 1 = 0, -2 + 2 = 0, 2 + 1 = 3, -1 + 3 = 2

Passo 6

Em seguida, olhamos para a segunda linha. O primeiro elemento não nulo é $ a_{23} = -2 $. Vamos usar isso como nosso próximo pivô e zerar os elementos abaixo e acima dele na terceira coluna.
Primeiro, vamos zerar o elemento $ a_{33} = 3 $:
  • Multiplicar a segunda linha por a23 = -2 e adicionar à terceira linha:
a33 = 3
Agora, a matriz fica:
-32

Passo 7

Observamos que a terceira linha ficou toda de zeros, indicando que não há um terceiro pivô. Portanto, as colunas com pivôs estão na primeira e na terceira coluna da matriz original $ A $.

Passo 8

As colunas originais de $ A $ que correspondem aos pivôs são a primeira coluna:
A
e a terceira coluna:
1 2 -1
Essas duas colunas são linearmente independentes e formam uma base para o espaço coluna de $ A $.

Resposta

Uma base para o espaço coluna de $ A $ é formada pelas colunas
A
e
1 2 -1 .

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