Considere a transformação linear T: R^4 R^3 definida pela matriz:
A=[cccc 1 & 2 & 1 & 3 2 & 4 & 0 & 2 -1 & -2 & 2 & -1 ]
(1) Determine uma base para o espaço linha de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base para o espaço linha da matriz $ A $. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que é espaço linha, como reduzir matrizes e identificar vetores que formam a base desse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço linha de uma matriz. O espaço linha é o conjunto de todas as combinações lineares das linhas da matriz. Uma base para esse espaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço linha. Ou seja, qualquer vetor no espaço linha pode ser escrito como uma combinação desses vetores da base.

Passo 3

Para encontrar uma base para o espaço linha, vamos reduzir a matriz $ A $ para a sua forma escalonada por linhas. Isso ajuda a identificar quais linhas são linearmente independentes. Vamos começar com a matriz dada:
A

Passo 4

Vamos usar operações elementares de linha para simplificar a matriz:
  1. Eliminar o primeiro elemento da segunda e terceira linhas:
    • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
      R2 = R2 - 2R1 R2 = [2 - 2(1), 4 - 2(2), 0 - 2(1), 2 - 2(3)] = [0, 0, -2, -4]
    • Adicionamos a primeira linha à terceira linha:
      R3 = R3 + R1 R3 = [-1 + 1, -2 + 2, 2 + 1, -1 + 3] = [0, 0, 3, 2]
    A matriz fica assim:
    A = 1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & -2 & -4 0 & 0 & 3 & 2

Passo 5

Agora, vamos simplificar mais:
  1. Simplificar a terceira linha:
    • Podemos dividir a terceira linha por 3 para facilitar:
      R3 = 13R3 = [0, 0, 1, 23]
    A matriz fica:
    A = 1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & -2 & -4 0 & 0 & 1 & 23
  2. Eliminar o elemento acima do pivô na terceira coluna:
    • Adicionamos 2 vezes a terceira linha à segunda linha:
      R2 = R2 + 2R3 = [0, 0, -2 + 2(1), -4 + 2(23)] = [0, 0, 0, -103]
    Agora, a matriz é:
    A = 1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & -103 0 & 0 & 1 & 23
  3. Finalizar a forma escalonada:
    Podemos reorganizar as linhas para deixar os pivôs mais claros:
    A = 1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 1 & 23 0 & 0 & 0 & -103

Passo 6

Agora, observamos que as duas primeiras linhas contêm pivôs (elementos principais) e são linearmente independentes. A terceira linha é uma combinação das anteriores, então não precisamos dela para a base.
Portanto, as linhas que formam a base para o espaço linha de $ A $ são:
A

Resposta

Uma base para o espaço linha de $ A $ é formada pelos vetores
A

Exercícios relacionados