Considere a transformação linear definida pela matriz:
(1) Determine uma base para o espaço linha de A.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base para o espaço linha da matriz $ A $. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que é espaço linha, como reduzir matrizes e identificar vetores que formam a base desse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço linha de uma matriz. O espaço linha é o conjunto de todas as combinações lineares das linhas da matriz. Uma base para esse espaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço linha. Ou seja, qualquer vetor no espaço linha pode ser escrito como uma combinação desses vetores da base.
Passo 3
Para encontrar uma base para o espaço linha, vamos reduzir a matriz $ A $ para a sua forma escalonada por linhas. Isso ajuda a identificar quais linhas são linearmente independentes. Vamos começar com a matriz dada:
A
Passo 4
Vamos usar operações elementares de linha para simplificar a matriz:
Eliminar o primeiro elemento da segunda e terceira linhas:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Podemos reorganizar as linhas para deixar os pivôs mais claros:
A = 1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 1 & 23 0 & 0 & 0 & -103
Passo 6
Agora, observamos que as duas primeiras linhas contêm pivôs (elementos principais) e são linearmente independentes. A terceira linha é uma combinação das anteriores, então não precisamos dela para a base.
Portanto, as linhas que formam a base para o espaço linha de $ A $ são:
A
Resposta
Uma base para o espaço linha de $ A $ é formada pelos vetores