Use o método de Newton-Raphson para aproximar as raízes indicadas com erro absoluto menor que
.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede: aproximar a raiz de
usando o método de Newton-Raphson até que o erro absoluto seja menor que
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O palpite inicial (aproximação inicial) é
. - A tolerância pedida para o erro absoluto é
.
Passo 2
Vamos introduzir a fórmula do método de Newton-Raphson e explicar cada termo com calma.
O método constrói iterativamente aproximações pela regra
O método constrói iterativamente aproximações
Aqui:
-
é a aproximação atual da raiz (já conhecida), -
é o valor da função no ponto , -
é a derivada da função no ponto , -
é a nova aproximação (geralmente mais próxima da raiz verdadeira).
Intuição curta e prática: a iteração usa a reta tangente à curva
em
; a interseção dessa reta com o eixo
é o
. Quando a função é bem comportada e o chute inicial razoável, a convergência costuma ser rápida (quadrática).
Passo 3
Calcular
para a nossa função e preparar para iterar:
Agora aplicamos a fórmula com
. Vou calcular cada iteração mostrando
,
e a correção
.
Passo 4
Iteração
(já dada):
Calcule
e
:
Aplicando Newton:
Passo 5
Iteração
:
Calcule
e
:
Correção:
Logo
(Arredondei a saída para nove casas decimais para manter os cálculos claros; a iteração usa esse valor.)
Passo 6
Iteração
:
Calcular
e
(avaliados numericamente):
Avaliação aproximada (usando Horner ou cálculo direto):
Avaliação aproximada (usando Horner ou cálculo direto):
Correção:
Aplicando Newton:
Passo 7
Verificação da diferença entre iterações (critério prático de parada). Vamos verificar
:
Esse valor ainda é maior que
(pois
), então ainda não atingimos a tolerância pedida se usarmos o critério
. Continuamos.
Passo 8
Iteração
:
Calcular
e
(avaliados numericamente):
Correção:
Portanto
Passo 9
Agora verifique a diferença:
Portanto a aproximação já satisfaz o critério de erro absoluto menor que
. Pela razão da convergência quadrática do método de Newton, após
a aproximação já está essencialmente na casa de precisão solicitada.