Considere a função
f(x)=ln (16-x^2)
Dado que
integral0,2^1,7 ln (16-x^2) d x=4,05062
calcule o erro relativo aplicando os limites de integração na resposta do item ©. Utilize os 2 primeiros termos e 5 casas decimais com arredondamento.

Passo 1

Resumo do que temos:
• Enunciado: f(x)=ln(16−x²). Já sabemos que
.
• Conteúdo: vamos usar série de Taylor (expansão em torno de x=0) e integração termo a termo.
• O que precisamos:
  1. Expandir ln(16−x²) nos dois primeiros termos da série.
  2. Integrar essa aproximação de x=0,2 a x=1,7.
  3. Calcular o erro relativo comparando com 4,05062.

Passo 2

Expandir ln(16−x²) em torno de x=0 usando ln(1−y)=−y−y²/2−⋯:
  1. Escrevo
ln(16-x^2)=lnl(16(1-tfracx^216)r) = ln 16 + lnl(1-tfracx^216r)
  1. Como ln(16-x^2) = 2ln4 ;-;x^216 ;-;12l(x^216r)^!2-cdots com boxedln(16-x^2)approx 2ln4 ;-;x^216 , fica
  1. “Dois primeiros termos” significa manter

Passo 3

Integrar de 0,2 a 1,7 essa aproximação:
Irm apr =integral0,2^1,7l(2ln4-tfracx^216r),dx =2ln4,[x]0,2^1,7;-;integral0,2^1,7x^216,dx
Calculemos em partes:
  • Irm apr =4,15888308 - 0,10218750 =4,05669558
  • Intervalo: .
    Então

  • Avaliando de 0,2 a 1,7:

    Logo

Passo 4

Erro relativo = De, onde erro relativo =0,006075584,05062approx0,00149918;overset5 dclongrightarrow;0,00150 .

Resposta

O erro relativo aproximado, com 5 casas decimais, é 0,00150.

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