Obtenha o termo geral da série de Taylor de
f(x)=x^41+x^3
em torno de x0=0. Sugestão: Use a série geométrica diretamente, sem derivar.

Passo 1

Beleza, o problema pede para encontrar o termo geral da série de Taylor (isto é, a expansão em torno de 0) de
f(x)=x^41+x^3
O assunto aqui é séries de Taylor e, mais especificamente, a série geométrica. Para resolver, vamos usar direto a fórmula
11 - u ;=;sumn=0^inftyu^n, válida para |u|<1 á

Passo 2

Primeiro, observe que
11+x^3=11-(-x^3)
Aqui basta identificar 11+x^3 =sumn=0^infty(-x^3)^n =sumn=0^infty(-1)^nx^3n na série geométrica. Então

Passo 3

Agora multiplica tudo por f(x)=x^4,11+x^3 =x^4sumn=0^infty(-1)^nx^3n =sumn=0^infty(-1)^nx^3n+4 , que é o numerador da nossa :

Resposta

O termo geral da série de Taylor de boxedsumn=0^infty(-1)^n,x^3n+4, em torno de 0 é
ou seja, o -ésimo termo é .

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