Obtenha o termo geral da série de Taylor de f(x)=x^2 cos (x^3) em torno de x0=0. Sugestão: Utilize, como base, a série de cos x vista em sala de aula.

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente ache o termo geral da série de Taylor (Maclaurin) de
f(x)=x^2cos(x^3)
em torno de .
Conteúdo: série de potências/Maclaurin e, em particular, a expansão de .
O que vamos usar:
  1. A série de Maclaurin de .
  2. Substituir por .
  3. Multiplicar tudo por .

Passo 2

Primeiro, lembra da teoria da série de Maclaurin? É a expansão
cos x ;=;sumn=0^infty(-1)^n,x^2n(2n)!
Ela vem de derivar várias vezes em e montar a série.

Passo 3

Agora a ideia é usar essa série mas com cosl(x^3r) =sumn=0^infty(-1)^n,(x^3)^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n,x^6n(2n)! trocado por . Então:

Passo 4

Aí, como f(x)=x^2cos(x^3) =sumn=0^infty(-1)^n,x^6n(2n)!,times x^2 =sumn=0^infty(-1)^n,x^6n+2(2n)! , a gente só multiplica cada termo por :

Resposta

O termo geral da série de Taylor (Maclaurin) de boxedf(x)=sumn=0^infty(-1)^n,x^6n+2(2n)! em torno de é

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