Considere a função f(x)=x^3-6 x^2+11 x-6 e o sistema linear abaixo:
x+y+z &=6 2 x-y+z &=3 x+2 y-z &=2
Utilizando o método de Newton-Raphson, encontre uma aproximação para a raiz da função f(x)=x^3-6 x^2+11 x-6 partindo de x0=2. Realize duas iterações e apresente os cálculos.

Passo 1

Então, o enunciado tá pedindo pra gente achar uma aproximação da raiz da função
f(x)=x^3-6x^2+11x-6
usando o método de Newton–Raphson, começando em xn+1=xn-f(xn)f'(xn) , e fazendo duas iterações.
Conteúdo: método de Newton–Raphson pra resolver .
O que a gente vai precisar:
- Saber derivar .
- Conhecer a fórmula iterativa do Newton:

Passo 2

Relembrando a teoria do Newton–Raphson (que é pra resolver equações não-lineares):
  1. A gente aproxima a curva xn+1=xn-f(xn)f'(xn) por sua reta tangente em .
  2. A interseção dessa reta com o eixo vira a próxima aproximação .
  3. A fórmula sai direto dessa linearização:

Passo 3

Vamos calcular o que precisamos em f'(x)=3x^2-12x+11 .
  1. Derivada de f(2)=2^3-6cdot2^2+11cdot2-6 =8-24+22-6 =0, : f'(2)=3cdot2^2-12cdot2+11 =12-24+11 =-1
  2. Avaliando em x1 =2-f(2)f'(2) =2-0-1 =2 :
  3. Aplicando a fórmula pra achar :

Passo 4

Como x2 =x1-f(x1)f'(x1) =2-f(2)f'(2) =2-0-1 =2 , a reta tangente já “acertou” a raiz exata na primeira iteração. Então, na segunda iteração:

Resposta

Aproximação da raiz após duas iterações pelo método de Newton–Raphson, partindo de x2=2 , é

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