Considere a função f(x)=x^3-6 x^2+11 x-6 e o sistema linear abaixo:
x+y+z &=6 2 x-y+z &=3 x+2 y-z &=2
Resolva o sistema linear utilizando o método da eliminação de Gauss. Apresente todos os passos da resolução.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é resolver o sistema
x+y+z=6 2x - y + z=3 x+2y - z=2
usando eliminação de Gauss. A matéria é Álgebra Linear (sistemas lineares) e o que vamos precisar é:
  • Montar a matriz aumentada do sistema.
  • Fazer operações elementares para triangularizar (ou seja, zerar abaixo dos “pivôs”).
  • Voltar pra trás (substituição regressiva) e achar , e .

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada [ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 2 & -1 & 1 & 3 1 & 2 & -1 & 2 ] :
Aqui cada linha representa uma equação e a coluna à direita do traço é o vetor .

Passo 3

Queremos zerar os elementos abaixo do pivô da primeira linha (que é 1 na posição L2: (2,-1,1,3)-2,(1,1,1,6)=(0,-3,-1,-9), L3: (1,2,-1,2)-1,(1,1,1,6)=(0,1,-2,-4) ).
  • Linha 2 [ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 0 & -3 & -1 & -9 0 & 1 & -2 & -4 ] Linha 2 Linha 1
  • Linha 3 Linha 3 Linha 1
Fazendo:
A matriz vira

Passo 4

Agora, vamos usar o pivô da segunda linha (que é (0,1,-2,-4)+(0,-1,-tfrac13,-3)=(0,0,-tfrac73,-7) na posição [ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 0 & -3 & -1 & -9 0 & 0 & -tfrac73 & -7 ] ) para zerar o elemento em , que é 1.
  • Linha 3 Linha 3 Linha 2
da linha 2 é . Somando em L3:
A matriz triangular superior é

Passo 5

Agora fazemos a substituição regressiva. Primeiro, da terceira linha:
-tfrac73,z = -7 Longrightarrow z = -7-tfrac73 = 3
Depois, da segunda linha:
-3,y -1cdot z = -9 Longrightarrow -3y -1cdot3 = -9 Longrightarrow -3y = -6 Longrightarrow y = 2
Por fim, da primeira linha:
x + y + z = 6 Longrightarrow x + 2 + 3 = 6 Longrightarrow x = 1

Resposta

.

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