Explique por que o método de Newton-Raphson pode não convergir para a raiz de uma função, mesmo que ela seja contínua e diferenciável.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: temos a função
e um sistema linear
Perceba que esse sistema tem como solução , que nada mais são do que as três raízes de .
Conteúdo da matéria: método de Newton–Raphson (no caso unidimensional) e condições de convergência.
O que vamos precisar:
Saber derivar para montar o passo de Newton;
Entender o porquê de o método só “funcionar” se certas condições forem respeitadas (não dividir por zero, chute inicial pertinho da raiz etc.).
Passo 2
Primeiro, a derivada de f'(x) = 3x^2-12x+11, é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
O método de Newton–Raphson é dado pela iteração
Teoria por trás: a cada passo a gente aproxima por sua reta tangente em , resolvendo essa reta igual a zero. Isso transforma uma curva em uma reta fácil de zerar, e normalmente, se você estiver suficientemente perto da raiz, vai “puxar” você pra ela mais rápido (convergência quadrática).
Passo 3
Quais condições garantem convergência local?
tem de ser duas vezes diferenciável no intervalo que contém a raiz;
não pode ser zero nesse intervalo (sem divisão por zero!);
o chute inicial deve estar num subintervalo onde a reta tangente dá bons palpites, isto é, a segunda derivada não pode ser “gigante” nem mudar de sinal doido lá dentro.
Em resumo: precisa existir um pedaço ao redor da raiz em que a reta tangente se comporte direitinho.
Passo 4
Por que pode falhar mesmo com contínua e diferenciável?
Se em algum você tiver , o passo é impossível (divisão por zero).
Se for muito pequeno, o quociente fica enorme e você sai voando para longe da raiz.
Em funções com inflexões e curvaturas fortes, a reta tangente pode te levar para outro lado, te deixar preso num ciclo (não aproxima de jeito nenhum) ou até mandar a sequência divergir.
Se o chute inicial estiver longe demais, nem sempre a reta tangente “acerta” o caminho até a raiz desejada — pode convergir para outra raiz ou não convergir.
Passo 5
Fazendo o paralelo com o sistema linear: se você resolvesse um sistema não-linear por Newton, montaria a Jacobiana (matriz das derivadas parciais) e resolveria um sistema linear em cada iteração. Se essa Jacobiana fosse singular (determinante zero), o método quebraria ali (sem solução ou com solução instável). No caso unidimensional, a “Jacobiana” é . Quando ou quase zero, tudo dá pau ou fica mal condicionado — é o mesmo problema.
Resposta
O Newton–Raphson pode não convergir porque ele depende de aproximar por sua reta tangente e dividir por . Se em algum passo a derivada for zero ou muito pequena, ou se o chute inicial estiver longe, a reta tangente pode mandar a iteração para longe da raiz, prender em ciclo ou simplesmente não existir divisão. Em suma, ter contínua e diferenciável não basta: é preciso que não se anule (nem fique minúscula) no caminho e que o chute inicial esteja numa região em que a reta tangente “leve” de volta para a raiz.