Considere a função
e uma máquina com sistema de base 10 com 5 dígitos que trabalha com arredondamento.
Determine a menor raíz positiva de
justificando todas as suas escolas e passos.
Determine a menor raíz positiva de
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra achar a menor raiz positiva de
num computador em base 10, com apenas 5 dígitos significativos e arredondamento.
Conteúdo: métodos numéricos (Newton) e aritmética de máquina.
Pra resolver, vamos precisar de
Conteúdo: métodos numéricos (Newton) e aritmética de máquina.
Pra resolver, vamos precisar de
- f(x) e sua derivada f′(x),
- regra de arredondar a 5 dígitos,
- escolha de um chute inicial (entre 0 e 1, já que f(0)>0 e f(1)<0).
Passo 2
Teoria do método de Newton:
Partimos de um x₀, e iteramos
Partimos de um x₀, e iteramos
Aqui
Newton converge rápido se o chute for razoável (aqui vai).
Passo 3
Configuração da aritmética de máquina:
- Cada número só tem 5 dígitos significativos em base 10.
- Em cada operação, arredonda-se para o mais próximo, caso empate arredonda ao par.
Avaliando sinais:
f(0)=4.21686>0 e f(1)=1−0.82−12.4577+4.21686≈−8.06<0
→ existe raiz em (0,1). Vamos escolher x₀=0.30000.
f(0)=4.21686>0 e f(1)=1−0.82−12.4577+4.21686≈−8.06<0
→ existe raiz em (0,1). Vamos escolher x₀=0.30000.
Passo 4
Primeira iteração (x₀=0.30000):
- Calcula f(0.30000):
- Calcula f′(0.30000):
- Newton:
Passo 5
Segunda iteração (x₁=0.33413):
- Calcula f(0.33413):
- Calcula f′(0.33413):
- Newton:
Note que a mudança já ficou na 5ª casa decimal, sinal de convergência.
Resposta
A menor raiz positiva, na máquina com 5 dígitos e arredondamento, é