Considere a função f(x)=x^3-0.82 x^2-12.4577 x+4.21686 e uma máquina com sistema de base 10 com 5 dígitos que trabalha com arredondamento.
Determine a menor raíz positiva de f justificando todas as suas escolas e passos.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar a menor raiz positiva de
f(x)=x^3-0.82,x^2-12.4577,x+4.21686
num computador em base 10, com apenas 5 dígitos significativos e arredondamento.
Conteúdo: métodos numéricos (Newton) e aritmética de máquina.
Pra resolver, vamos precisar de
  1. f(x) e sua derivada f′(x),
  2. regra de arredondar a 5 dígitos,
  3. escolha de um chute inicial (entre 0 e 1, já que f(0)>0 e f(1)<0).

Passo 2

Teoria do método de Newton:
Partimos de um x₀, e iteramos
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
Aqui
f'(x)=3x^2-1.64,x-12.4577
Newton converge rápido se o chute for razoável (aqui vai).

Passo 3

Configuração da aritmética de máquina:
  • Cada número só tem 5 dígitos significativos em base 10.
  • Em cada operação, arredonda-se para o mais próximo, caso empate arredonda ao par.
Avaliando sinais:
f(0)=4.21686>0 e f(1)=1−0.82−12.4577+4.21686≈−8.06<0
→ existe raiz em (0,1). Vamos escolher x₀=0.30000.

Passo 4

Primeira iteração (x₀=0.30000):
  1. Calcula f(0.30000):
(0.30000)^3&=0.027000, -0.82,(0.30000)^2&=-0.82cdot0.090000=-0.073800, -12.4577cdot0.30000&=-3.73731, soma: 0.027000-0.073800&=-0.046800, -0.046800-3.73731&=-3.78411, -3.78411+4.21686&=0.43275(arred 5 dígitos) í
  1. Calcula f′(0.30000):
3,(0.30000)^2=0.27000, -1.64cdot0.30000=-0.49200, 0.27000-0.49200=-0.22200, -0.22200-12.4577=-12.6797
  1. Newton:
x1=0.30000-0.43275-12.6797 =0.30000+0.03413 =0.33413(5 dígitos) í

Passo 5

Segunda iteração (x₁=0.33413):
  1. Calcula f(0.33413):
(0.33413)^2&approx0.11165,-0.82cdot0.11165=-0.09160, (0.33413)^3&approx0.03732, 0.03732-0.09160&=-0.05428, -12.4577cdot0.33413&approx-4.16220, -0.05428-4.16220&=-4.21648, -4.21648+4.21686&=0.00038(arred 5 dígitos) í
  1. Calcula f′(0.33413):
3cdot0.11165=0.33495, -1.64cdot0.33413=-0.54718, 0.33495-0.54718=-0.21223, -0.21223-12.4577=-12.6700
  1. Newton:
x2=0.33413-0.00038-12.6700 =0.33413+0.00003 =0.33416(5 dígitos) í
Note que a mudança já ficou na 5ª casa decimal, sinal de convergência.

Resposta

A menor raiz positiva, na máquina com 5 dígitos e arredondamento, é
boxedx approx 0.33416

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