Considere a função abaixo. Calcule numericamente a derivada primeira aplicando as fórmulas de Derivação Numérica Regressiva, Centrada e Progressiva (com 2 pontos), usando \mathrm{h}=0.05 \mathrm{em} \times=1,0, e ao final, calcule o erro relativo cometido.
f(x)=e^{-x}+x^{2}
Passo 1
O enunciado pede que, para a função \displaystyle f(x)=e^{-x}+x^{2}, calculemos numericamente a derivada primeira em x=1{,}0 usando as três fórmulas de diferença finita de 2 pontos: regressiva (backward), progressiva (forward) e centrada (central), com passo \displaystyle h=0{,}05. Em seguida, devemos calcular o erro relativo de cada aproximação em relação ao valor exato da derivada. Informações dadas:
\displaystyle f(x)=e^{-x}+x^{2}.
Ponto onde aproximar: \displaystyle x=1{,}0.
Passo: \displaystyle h=0{,}05.
Perguntas a responder:
Calcular \displaystyle f'(1) numericamente por:
derivação regressiva (2 pontos);
derivação progressiva (2 pontos);
derivação centrada (2 pontos).
Calcular o erro relativo cometido em cada caso.
Passo 2
Apresentar as fórmulas usadas e explicar o que cada símbolo significa.
Interpretação: usa o valor da função no ponto x e no ponto à direita x+h. O símbolo h é o incremento pequeno. Ordem de erro local é O(h) (erro proporcional a h).
Interpretação: usa os valores simétricos à direita e à esquerda; a ordem de erro é O(h^{2}) (muito melhor quando h é pequeno).
Explicação rápida das ordens: dizer que a fórmula centrada cancela os termos de ordem h na expansão em série de Taylor, sobrando erro proporcional a h^{2}, por isso costuma ser muito mais precisa para o mesmo h.
Passo 3
Calcular a derivada analítica exata (necessária para medir erro relativo).
Portanto a aproximação centrada vale aproximadamente 1{,}63196726083.
Passo 8
Calcular os erros relativos de cada aproximação em relação ao valor exato \displaystyle f'(1)=1{,}6321205588285577.
Erro relativo em valor absoluto é dado por \displaystyle \frac{|\,\text{aprox}-\text{exato}\,|}{|\text{exato}|}. Multiplicando por 100\% obtém-se a porcentagem.
Interpretação prática (dica de prova e motivação): a fórmula centrada foi muito mais precisa porque seu erro é de ordem O(h^{2}) enquanto as fórmulas forward e backward têm erro O(h). Portanto, na prova, quando puder usar pontos simétricos ao redor do ponto de interesse, prefira a diferença centrada; para o mesmo h obtém-se tipicamente ganhos grandes de precisão. Força aí — já está dominando o que cai em prova!