Considere a função abaixo. Calcule numericamente a derivada primeira aplicando as fórmulas de Derivação Numérica Regressiva, Centrada e Progressiva (com 2 pontos), usando \mathrm{h}=0.05 \mathrm{em} \times=1,0, e ao final, calcule o erro relativo cometido.
f(x)=e^{-x}+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede que, para a função \displaystyle f(x)=e^{-x}+x^{2}, calculemos numericamente a derivada primeira em x=1{,}0 usando as três fórmulas de diferença finita de 2 pontos: regressiva (backward), progressiva (forward) e centrada (central), com passo \displaystyle h=0{,}05. Em seguida, devemos calcular o erro relativo de cada aproximação em relação ao valor exato da derivada. Informações dadas:
  • \displaystyle f(x)=e^{-x}+x^{2}.
  • Ponto onde aproximar: \displaystyle x=1{,}0.
  • Passo: \displaystyle h=0{,}05.
    Perguntas a responder:
  • Calcular \displaystyle f'(1) numericamente por:
    • derivação regressiva (2 pontos);
    • derivação progressiva (2 pontos);
    • derivação centrada (2 pontos).
  • Calcular o erro relativo cometido em cada caso.

Passo 2

Apresentar as fórmulas usadas e explicar o que cada símbolo significa.
  • Fórmula progressiva (forward, 2 pontos):
\left.\frac{df}{dx}\right|_{x}\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Interpretação: usa o valor da função no ponto x e no ponto à direita x+h. O símbolo h é o incremento pequeno. Ordem de erro local é O(h) (erro proporcional a h).
  • Fórmula regressiva (backward, 2 pontos):
\left.\frac{df}{dx}\right|_{x}\approx\frac{f(x)-f(x-h)}{h}.
Interpretação: usa o valor da função no ponto x e no ponto à esquerda x-h. Ordem de erro local também O(h).
  • Fórmula centrada (central, 2 pontos):
\left.\frac{df}{dx}\right|_{x}\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}.
Interpretação: usa os valores simétricos à direita e à esquerda; a ordem de erro é O(h^{2}) (muito melhor quando h é pequeno).
Explicação rápida das ordens: dizer que a fórmula centrada cancela os termos de ordem h na expansão em série de Taylor, sobrando erro proporcional a h^{2}, por isso costuma ser muito mais precisa para o mesmo h.

Passo 3

Calcular a derivada analítica exata (necessária para medir erro relativo).
  • Usando regras básicas de derivação:
    • derivada de e^{-x} é -e^{-x};
    • derivada de x^{2} é 2x.
      Logo,
\frac{df}{dx}=-e^{-x}+2x.
Avaliar em x=1:
\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=1} = -e^{-1}+2 = 2-e^{-1}.
Valor numérico (usando e^{-1}\approx0{,}36787944117144233):
\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=1} = 2 - 0{,}36787944117144233 = 1{,}6321205588285577.

Passo 4

Calcular os valores da função necessários: f(1-h), f(1) e f(1+h).
  • Primeiro, escrever a função:
f(x)=e^{-x}+x^{2}.
  • Calcular f(1):
f(1)=e^{-1}+1^{2}=e^{-1}+1\approx0{,}36787944117144233+1=1{,}3678794411714423.
  • Calcular f(1+h)=f(1{,}05). Precisamos de e^{-1{,}05} e de (1{,}05)^{2}.
    • \displaystyle e^{-1{,}05}\approx0{,}349937749093.
    • \displaystyle (1{,}05)^{2}=1{,}1025.
      Portanto
f(1{,}05)=e^{-1{,}05}+1{,}1025\approx0{,}349937749093+1{,}1025=1{,}452437749093.
  • Calcular f(1-h)=f(0{,}95). Precisamos de e^{-0{,}95} e de (0{,}95)^{2}.
    • \displaystyle e^{-0{,}95}\approx0{,}386741023010.
    • \displaystyle (0{,}95)^{2}=0{,}9025.
      Portanto
f(0{,}95)=e^{-0{,}95}+0{,}9025\approx0{,}386741023010+0{,}9025=1{,}289241023010.
Observação: os valores de e^{-1{,}05} e e^{-0{,}95} foram avaliados numericamente com precisão suficiente para esta aproximação.

Passo 5

Aplicar a fórmula progressiva (forward) e calcular passo a passo.
  • Fórmula:
\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=1}\approx\frac{f(1{,}05)-f(1)}{0{,}05}.
  • Substituindo os valores numéricos:
\frac{1{,}452437749093-1{,}3678794411714423}{0{,}05} =\frac{0{,}0845583079215577}{0{,}05}=1{,}691166158431154.
Portanto a aproximação progressiva vale aproximadamente 1{,}691166158431154.

Passo 6

Aplicar a fórmula regressiva (backward) e calcular passo a passo.
  • Fórmula:
\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=1}\approx\frac{f(1)-f(0{,}95)}{0{,}05}.
  • Substituindo os valores:
\frac{1{,}3678794411714423-1{,}289241023010}{0{,}05} =\frac{0{,}0786384181614423}{0{,}05}=1{,}572768363228846.
Portanto a aproximação regressiva vale aproximadamente 1{,}572768363228846.

Passo 7

Aplicar a fórmula centrada (central) e calcular passo a passo.
  • Fórmula:
\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=1}\approx\frac{f(1{,}05)-f(0{,}95)}{2\cdot0{,}05}.
  • Substituindo:
\frac{1{,}452437749093-1{,}289241023010}{0{,}1} =\frac{0{,}163196726083}{0{,}1}=1{,}63196726083.
Portanto a aproximação centrada vale aproximadamente 1{,}63196726083.

Passo 8

Calcular os erros relativos de cada aproximação em relação ao valor exato \displaystyle f'(1)=1{,}6321205588285577.
  • Erro relativo em valor absoluto é dado por \displaystyle \frac{|\,\text{aprox}-\text{exato}\,|}{|\text{exato}|}. Multiplicando por 100\% obtém-se a porcentagem.
  1. Progressiva:
  • Diferença absoluta: |1{,}691166158431154-1{,}6321205588285577|=0{,}0590455996025963.
  • Erro relativo:
\frac{0{,}0590455996025963}{1{,}6321205588285577}\approx0{,}0361787322\approx3{,}6179\%.
  1. Regressiva:
  • Diferença absoluta: |1{,}572768363228846-1{,}6321205588285577|=0{,}0593521955997117.
  • Erro relativo:
\frac{0{,}0593521955997117}{1{,}6321205588285577}\approx0{,}0363553506\approx3{,}6355\%.
  1. Centrada:
  • Diferença absoluta: |1{,}63196726083-1{,}6321205588285577|=0{,}0001532979985577.
  • Erro relativo:
\frac{0{,}0001532979985577}{1{,}6321205588285577}\approx9{,}393\times10^{-5}\approx0{,}009393\%.

Passo 9

Interpretação prática (dica de prova e motivação): a fórmula centrada foi muito mais precisa porque seu erro é de ordem O(h^{2}) enquanto as fórmulas forward e backward têm erro O(h). Portanto, na prova, quando puder usar pontos simétricos ao redor do ponto de interesse, prefira a diferença centrada; para o mesmo h obtém-se tipicamente ganhos grandes de precisão. Força aí — já está dominando o que cai em prova!

Resposta

Derivada regressiva (2 pontos): 1{,}572768363228846 — Erro relativo: 3{,}6355\%
Derivada progressiva (2 pontos): 1{,}691166158431154 — Erro relativo: 3{,}6179\%
Derivada centrada (2 pontos): 1{,}63196726083 — Erro relativo: 0{,}009393\%

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