Dada a função transcendente
e no intervalo
e
. Pede-se determinar a raiz usando o método: Newton-Raphson Obs.: É necessário e obrigatório fazer a tabela final com os resultados.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a raiz da função
no intervalo
usando o método de Newton-Raphson com tolerância
, e apresentar uma tabela final com os resultados.
Dados relevantes fornecidos:
Dados relevantes fornecidos:
- A função:
. - Intervalo onde procurar a raiz:
. - Precisão exigida:
.
O que se pede explicitamente: - Aplicar o método de Newton-Raphson até que o critério de parada
seja satisfeito; - Montar uma tabela com as iterações e os valores relevantes (valores de
, , , , e o erro ).
Passo 2
Explicando o método de Newton-Raphson de forma didática:
- A ideia: aproximar a raiz de
usando a linearização (reta tangente) em torno de um palpite . A interseção da reta tangente com o eixo dá a próxima aproximação . - Fórmula geral do método:
Aqui
é a derivada de
em
;
é o valor da função no palpite atual.
- Para a nossa função, calculamos a derivada:
- Observação prática: como
é fácil de calcular aqui, o método é direto. Devemos garantir que (aqui nunca é zero porque , logo sempre). - Critério de parada que vamos usar (o pedido): parar quando
com .
Passo 3
Escolha do palpite inicial
(necessário para iniciar Newton):
- Não foi dado um
. Como o intervalo é , uma escolha natural e simples é o ponto médio . É uma escolha padrão quando não há outro critério. - Para simplificar cálculos, podemos reescrever a fórmula do passo de Newton para esta função. Substituindo
e :
Essa expressão pode ser simplificada (multiplicando numerador e denominador convenientemente) para a forma:
Essa forma é numérica e prática: dado
, calcular
e aplicar a fórmula acima para obter
.
Passo 4
Primeira iteração (
): partir de
. Vamos calcular passo a passo com explicações:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
pela fórmula de Newton (usar a forma prática):
- Erro entre iterações:
Comentário: esse erro é bem maior que
, logo precisamos continuar.
Passo 5
Segunda iteração (
): partir de
. Cálculos:
- Primeiro calcular
. Uma forma prática de estimar é usar relações com o valor exato conhecido da solução, mas aqui fazemos a aproximação direta:
(essa aproximação pode ser obtida por um cálculo de exponencial; usei truncamentos compatíveis com a precisão pedida).
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
pela fórmula:
- Erro entre iterações:
Comparação com o critério:
. Portanto a condição de parada é satisfeita na segunda iteração e podemos aceitar
como aproximação da raiz com a precisão exigida.
Passo 6
Comentários didáticos finais sobre convergência e precisão:
- O método de Newton-Raphson tipicamente converge muito rápido (convergência quadrática) quando a aproximação inicial está razoavelmente perto da raiz e
não é zero; é o que aconteceu aqui: em duas iterações já atingimos . - A forma reescrita
ajuda a calcular numericamente sem manipular frações negativas. - Observação prática para prova: sempre calcule
e com precisão suficiente para comparar com . Use arredondamentos coerentes — aqui mantivemos cerca de 7 a 10 casas significativas nas etapas intermédias e reportamos com 9 casas onde foi útil.
Passo 7
Tabela final das iterações (valores aproximados mostrados com precisão suficiente para o critério pedido):
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( | x_{n+1}-x_n | ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 |
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| 1 |
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|
||
| Observação: a iteração
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x_{2}-x_{1} | <\varepsilon), portanto a execução é parada e a aproximação final da raiz é
|