Dada a função:
.
Determine uma raiz real da função utilizando o método da bissecção, no intervalo de
, com precisão:
Solicita-se:
a) Determinar o número mínimo de iterações necessárias;
b) Construir a tabela completa das iterações contendo:
Solicita-se:
a) Determinar o número mínimo de iterações necessárias;
b) Construir a tabela completa das iterações contendo:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais os dados fornecidos:
- Função:
. - Intervalo inicial:
. - Precisão desejada:
.
As perguntas solicitadas:
(a) determinar o número mínimo de iterações da bissecção necessárias para garantir essa precisão;
(b) construir a tabela completa das iterações (cada iteração mostrando os extremos do intervalo, o ponto médio e o valor denesse ponto, e qual subintervalo foi escolhido).
Passo 2
Breve explicação do método da bissecção (só o essencial para aplicar):
- A bissecção usa um intervalo
com e de sinais opostos (logo existe pelo menos uma raiz por Bolzano). - Em cada iteração calcula-se o ponto médio
e avalia-se . Se terminou; se tem o mesmo sinal que substitui-se , caso contrário substitui-se . - Após
iterações o comprimento do intervalo é . Uma condição suficiente para a tolerância absoluta é
Dessa desigualdade obtemos o número mínimo de iterações necessário pelo critério
Passo 3
Aplicando a fórmula para determinar o número mínimo de iterações:
- Aqui
e . Então
-
- Como
deve ser inteiro e satisfaça a desigualdade, tomamos o teto:
Portanto o número mínimo de iterações necessárias é
.
Passo 4
Verificação inicial de que existe raiz em
(condição para aplicar bissecção):
-
. Então (negativo). -
, logo (positivo).
Comoe , há pelo menos uma raiz em e podemos aplicar o método.
Passo 5
Organização da tabela que vamos construir (cada iteração mostrará):
- iteração
, extremos do intervalo , ponto médio , valor , decisão (qual subintervalo é escolhido para a próxima iteração).
Vou mostrar os valores numéricos com aproximação suficiente para decidir o sinal de. Os valores de usados foram obtidos numericamente (tabela/calculadora).
Passo 6
Executando as iterações (tabela completa das primeiras
iterações):
Iteração 1:
-
. -
. -
. Com obtemos - Sinal de
é negativo (mesmo sinal de ), então escolhe-se o subintervalo .
Iteração 2:
-
. -
. -
. Com : -
, então novo intervalo .
Iteração 3:
-
. -
. -
. Com : -
, logo escolhe-se .
Iteração 4:
-
. -
. -
. Com : -
, então .
Iteração 5:
-
. -
. -
. Com : -
, então .
Iteração 6:
-
. -
. -
. Calculou-se . Com : -
, então .
Iteração 7:
-
. -
. -
. Calculou-se . Com : -
, portanto escolhe-se .
Observação sobre os sinais: em cada passo comparei o sinal de
com o de
para decidir qual metade manter. Os valores de
foram aproximados com precisão suficiente para a decisão do sinal.
Passo 7
Verificação da condição de parada e escolha da aproximação final:
- Após
iterações o intervalo atual é . O comprimento desse intervalo é
- A razão do método garante que qualquer ponto dentro desse intervalo está a, no máximo, metade do comprimento do intervalo do centro; tomando como aproximação o ponto médio final
a margem de erro absoluta é no máximo
. Logo a aproximação atende à precisão exigida
.
Passo 8
Resumo final (o que foi pedido):
- (a) número mínimo de iterações:
. - (b) tabela completa das
iterações foi construída no Passo 6 (cada iteração com , , e a decisão do subintervalo).
Resposta
(a)
(b) aproximação da raiz: (com erro absoluto
).
(b) aproximação da raiz: