Dada a função: \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{3}-\boldsymbol{\operatorname { c o s }}(\boldsymbol{x}).
Determine uma raiz real da função utilizando o método da bissecção, no intervalo de (0,1), com precisão: 10^{-2}
Solicita-se:
a) Determinar o número mínimo de iterações necessárias;
b) Construir a tabela completa das iterações contendo:

Passo 1

O que o enunciado pede e quais os dados fornecidos:
  • Função: \,f(x)=x^{3}-\cos(x).
  • Intervalo inicial: (0,1).
  • Precisão desejada: \,10^{-2}.
    As perguntas solicitadas:
    (a) determinar o número mínimo de iterações da bissecção necessárias para garantir essa precisão;
    (b) construir a tabela completa das iterações (cada iteração mostrando os extremos do intervalo, o ponto médio e o valor de f nesse ponto, e qual subintervalo foi escolhido).

Passo 2

Breve explicação do método da bissecção (só o essencial para aplicar):
  • A bissecção usa um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos (logo existe pelo menos uma raiz por Bolzano).
  • Em cada iteração calcula-se o ponto médio c=(a+b)/2 e avalia-se f\text{(c)}. Se f\text{(c)}=0 terminou; se f\text{(c)} tem o mesmo sinal que f(a) substitui-se a\leftarrow c, caso contrário substitui-se b\leftarrow c.
  • Após N iterações o comprimento do intervalo é (b-a)/2^{N}. Uma condição suficiente para a tolerância absoluta \varepsilon é
\frac{b-a}{2^{N}}\le \varepsilon.
Dessa desigualdade obtemos o número mínimo de iterações necessário pelo critério
N \ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right).

Passo 3

Aplicando a fórmula para determinar o número mínimo de iterações:
  • Aqui b-a=1-0=1 e \varepsilon=10^{-2}. Então
N \ge \log_{2}\!\left(\frac{1}{10^{-2}}\right)=\log_{2}(100).
  • \log_{2}(100)=\dfrac{\ln(100)}{\ln(2)}\approx 6{,}6438\ldots
  • Como N deve ser inteiro e satisfaça a desigualdade, tomamos o teto:
N_{\min}=\lceil 6{,}6438\ldots\rceil=7.
Portanto o número mínimo de iterações necessárias é 7.

Passo 4

Verificação inicial de que existe raiz em [0,1] (condição para aplicar bissecção):
  • f(0)=0^{3}-\cos(0)=0-1=-1. Então f(0)=-1 (negativo).
  • \cos(1)\approx 0{,}5403023059, logo f(1)=1^{3}-\cos(1)=1-0{,}5403023059\approx 0{,}4596976941 (positivo).
    Como f(0)<0 e f(1)>0, há pelo menos uma raiz em (0,1) e podemos aplicar o método.

Passo 5

Organização da tabela que vamos construir (cada iteração mostrará):
  • iteração k, extremos do intervalo [a_{k-1},b_{k-1}], ponto médio c_{k}=(a_{k-1}+b_{k-1})/2, valor f(c_{k}), decisão (qual subintervalo é escolhido para a próxima iteração).
    Vou mostrar os valores numéricos com aproximação suficiente para decidir o sinal de f. Os valores de \cos usados foram obtidos numericamente (tabela/calculadora).

Passo 6

Executando as iterações (tabela completa das primeiras 7 iterações):
Iteração 1:
  • [a_{0},b_{0}]=[\,0{,}0,\,1{,}0\,].
  • c_{1}=\dfrac{0{,}0+1{,}0}{2}=0{,}5.
  • f(c_{1})=0{,}5^{3}-\cos(0{,}5)=0{,}125-\cos(0{,}5). Com \cos(0{,}5)\approx0{,}877582562 obtemos f(c_{1})\approx 0{,}125-0{,}877582562=-0{,}752582562.
  • Sinal de f(c_{1}) é negativo (mesmo sinal de f(a_{0})), então escolhe-se o subintervalo [a_{1},b_{1}]=[\,0{,}5,\,1{,}0\,].
Iteração 2:
  • [a_{1},b_{1}]=[\,0{,}5,\,1{,}0\,].
  • c_{2}=\dfrac{0{,}5+1{,}0}{2}=0{,}75.
  • f(c_{2})=0{,}75^{3}-\cos(0{,}75)=0{,}421875-\cos(0{,}75). Com \cos(0{,}75)\approx0{,}731688869: f(c_{2})\approx 0{,}421875-0{,}731688869=-0{,}309813869.
  • f(c_{2})<0, então novo intervalo [a_{2},b_{2}]=[\,0{,}75,\,1{,}0\,].
Iteração 3:
  • [a_{2},b_{2}]=[\,0{,}75,\,1{,}0\,].
  • c_{3}=\dfrac{0{,}75+1{,}0}{2}=0{,}875.
  • f(c_{3})=0{,}875^{3}-\cos(0{,}875)=0{,}669921875-\cos(0{,}875). Com \cos(0{,}875)\approx0{,}6407969: f(c_{3})\approx 0{,}669921875-0{,}6407969=0{,}029124975.
  • f(c_{3})>0, logo escolhe-se [a_{3},b_{3}]=[\,0{,}75,\,0{,}875\,].
Iteração 4:
  • [a_{3},b_{3}]=[\,0{,}75,\,0{,}875\,].
  • c_{4}=\dfrac{0{,}75+0{,}875}{2}=0{,}8125.
  • f(c_{4})=0{,}8125^{3}-\cos(0{,}8125)=0{,}536376953125-\cos(0{,}8125). Com \cos(0{,}8125)\approx0{,}687686: f(c_{4})\approx 0{,}536376953125-0{,}687686=-0{,}151309046875.
  • f(c_{4})<0, então [a_{4},b_{4}]=[\,0{,}8125,\,0{,}875\,].
Iteração 5:
  • [a_{4},b_{4}]=[\,0{,}8125,\,0{,}875\,].
  • c_{5}=\dfrac{0{,}8125+0{,}875}{2}=0{,}84375.
  • f(c_{5})=0{,}84375^{3}-\cos(0{,}84375)=\dfrac{19683}{32768}\approx0{,}6002197265625-\cos(0{,}84375). Com \cos(0{,}84375)\approx0{,}664586: f(c_{5})\approx 0{,}6002197265625-0{,}664586=-0{,}0643662734375.
  • f(c_{5})<0, então [a_{5},b_{5}]=[\,0{,}84375,\,0{,}875\,].
Iteração 6:
  • [a_{5},b_{5}]=[\,0{,}84375,\,0{,}875\,].
  • c_{6}=\dfrac{0{,}84375+0{,}875}{2}=0{,}859375.
  • f(c_{6})=0{,}859375^{3}-\cos(0{,}859375). Calculou-se 0{,}859375^{3}=(55/64)^{3}\approx0{,}6346706. Com \cos(0{,}859375)\approx0{,}652886: f(c_{6})\approx 0{,}6346706-0{,}652886=-0{,}0182154.
  • f(c_{6})<0, então [a_{6},b_{6}]=[\,0{,}859375,\,0{,}875\,].
Iteração 7:
  • [a_{6},b_{6}]=[\,0{,}859375,\,0{,}875\,].
  • c_{7}=\dfrac{0{,}859375+0{,}875}{2}=0{,}8671875.
  • f(c_{7})=0{,}8671875^{3}-\cos(0{,}8671875). Calculou-se 0{,}8671875^{3}=(111/128)^{3}\approx0{,}652137. Com \cos(0{,}8671875)\approx0{,}646979: f(c_{7})\approx 0{,}652137-0{,}646979=0{,}005158.
  • f(c_{7})>0, portanto escolhe-se [a_{7},b_{7}]=[\,0{,}859375,\,0{,}8671875\,].
Observação sobre os sinais: em cada passo comparei o sinal de f(c_{k}) com o de f(a_{k-1}) para decidir qual metade manter. Os valores de \cos foram aproximados com precisão suficiente para a decisão do sinal.

Passo 7

Verificação da condição de parada e escolha da aproximação final:
  • Após 7 iterações o intervalo atual é [a_{7},b_{7}]=[\,0{,}859375,\,0{,}8671875\,]. O comprimento desse intervalo é
b_{7}-a_{7}=0{,}8671875-0{,}859375=0{,}0078125=\frac{1}{128}.
  • A razão do método garante que qualquer ponto dentro desse intervalo está a, no máximo, metade do comprimento do intervalo do centro; tomando como aproximação o ponto médio final
x_{\text{aprox}}=\frac{a_{7}+b_{7}}{2}=\frac{0{,}859375+0{,}8671875}{2}=0{,}86328125,
a margem de erro absoluta é no máximo \dfrac{b_{7}-a_{7}}{2}=0{,}00390625<10^{-2}. Logo a aproximação atende à precisão exigida \,10^{-2}.

Passo 8

Resumo final (o que foi pedido):
  • (a) número mínimo de iterações: 7.
  • (b) tabela completa das 7 iterações foi construída no Passo 6 (cada iteração com [a,b], c, f\text{(c)} e a decisão do subintervalo).

Resposta

(a) 7
(b) aproximação da raiz: x\approx 0{,}86328125 (com erro absoluto \le 0{,}00390625<10^{-2}).

Exercícios relacionados