Exercício 1 - Polinômio Interpolador de Newton
Considere os seguintes pontos:
1
1
4
2
7
4
10
8
Determine o polinômio interpolador na forma de Newton e utilize-o para calcular o valor aproximado de
.
|
|
|
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 7 | 4 |
| 10 | 8 |
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos da função
:
O que se pede:
- Determinar o polinômio interpolador na forma de Newton que passa por esses quatro pontos.
- Usar esse polinômio para calcular uma aproximação de
.
Passo 2
Vou explicar a forma de Newton e as diferenças divididas (sem pular etapas).
A forma de Newton para um polinômio interpolador de grau usando nós
é
A forma de Newton para um polinômio interpolador de grau
Aqui:
-
é simplesmente . - As diferenças divididas são definidas recursivamente por
e assim por diante.
Essas diferenças divididas são exatamente os coeficientes da forma de Newton. Vou calcular todas passo a passo.
Essas diferenças divididas são exatamente os coeficientes da forma de Newton. Vou calcular todas passo a passo.
Passo 3
Escolho os índices dos nós conforme a ordem dada:
e os valores
Passo 4
Calculo as primeiras diferenças divididas
.
Passo 5
Calculo as segundas diferenças divididas
.
Passo 6
Calculo a terceira diferença dividida
.
Passo 7
Agora substituo os coeficientes na forma de Newton. O polinômio interpolador é
Substituindo os valores encontrados:
Esta é a forma de Newton pedida (coeficientes em frações exatas).
Passo 8
Agora uso
para calcular
. Primeiro calculo os termos
em
:
Substituindo:
Calculo cada parcela em frações:
Somando tudo com denominador comum
:
Em forma decimal (aproximação):
Passo 9
(se quiser uma forma padrão em potências de
, pode expandir; a expansão dá)
que é equivalente à forma de Newton anterior (confere-se avaliando ambos em
).