Exercício 1 - Polinômio Interpolador de Newton

Considere os seguintes pontos:
x f(x)
1 1
4 2
7 4
10 8
Determine o polinômio interpolador na forma de Newton e utilize-o para calcular o valor aproximado de f(9).

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos da função f:
\begin{array}{ll} x & f(x)\\hline 1 & 1\\\\ 4 & 2\\\\ 7 & 4\\\\ 10 & 8 \end{array}
O que se pede:
  • Determinar o polinômio interpolador na forma de Newton que passa por esses quatro pontos.
  • Usar esse polinômio para calcular uma aproximação de f(9).

Passo 2

Vou explicar a forma de Newton e as diferenças divididas (sem pular etapas).
A forma de Newton para um polinômio interpolador de grau \le 3 usando nós x_0,x_1,x_2,x_3 é
P_3(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Aqui:
  • f[x_i] é simplesmente f(x_i).
  • As diferenças divididas são definidas recursivamente por
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{x_{i+1}-x_i},
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i},
e assim por diante.
Essas diferenças divididas são exatamente os coeficientes da forma de Newton. Vou calcular todas passo a passo.

Passo 3

Escolho os índices dos nós conforme a ordem dada:
x_0=1,\quad x_1=4,\quad x_2=7,\quad x_3=10,
e os valores
f[x_0]=f(1)=1,\quad f[x_1]=f(4)=2,\quad f[x_2]=f(7)=4,\quad f[x_3]=f(10)=8.

Passo 4

Calculo as primeiras diferenças divididas f[x_i,x_{i+1}].
f[x_0,x_1]=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}.
f[x_1,x_2]=\frac{f(7)-f(4)}{7-4}=\frac{4-2}{3}=\frac{2}{3}.
f[x_2,x_3]=\frac{f(10)-f(7)}{10-7}=\frac{8-4}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 5

Calculo as segundas diferenças divididas f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}].
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} =\frac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}}{7-1} =\frac{\dfrac{1}{3}}{6}=\frac{1}{18}.
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1} =\frac{\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}}{10-4} =\frac{\dfrac{2}{3}}{6}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}.

Passo 6

Calculo a terceira diferença dividida f[x_0,x_1,x_2,x_3].
f[x_0,x_1,x_2,x_3] =\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0} =\frac{\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{18}}{10-1} =\frac{\dfrac{1}{18}}{9}=\frac{1}{162}.

Passo 7

Agora substituo os coeficientes na forma de Newton. O polinômio interpolador é
P_3(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Substituindo os valores encontrados:
P_3(x)=1+\frac{1}{3}(x-1)+\frac{1}{18}(x-1)(x-4)+\frac{1}{162}(x-1)(x-4)(x-7).
Esta é a forma de Newton pedida (coeficientes em frações exatas).

Passo 8

Agora uso P_3(x) para calcular f(9)\approx P_3(9). Primeiro calculo os termos (x-1),(x-4),(x-7) em x=9:
9-1=8,\quad 9-4=5,\quad 9-7=2.
Substituindo:
P_3(9)=1+\frac{1}{3}\cdot 8+\frac{1}{18}\cdot 8\cdot 5+\frac{1}{162}\cdot 8\cdot 5\cdot 2.
Calculo cada parcela em frações:
\frac{1}{3}\cdot 8=\frac{8}{3},\quad \frac{1}{18}\cdot 40=\frac{40}{18}=\frac{20}{9},\quad \frac{1}{162}\cdot 80=\frac{80}{162}=\frac{40}{81}.
Somando tudo com denominador comum 81:
1=\frac{81}{81},\quad \frac{8}{3}=\frac{216}{81},\quad \frac{20}{9}=\frac{180}{81},\quad \frac{40}{81}=\frac{40}{81}.
P_3(9)=\frac{81+216+180+40}{81}=\frac{517}{81}.
Em forma decimal (aproximação):
P_3(9)=\frac{517}{81}\approx 6,382716049\ldots

Passo 9

(se quiser uma forma padrão em potências de x, pode expandir; a expansão dá)
P_3(x)=\frac{1}{162}x^{3}-\frac{1}{54}x^{2}+\frac{8}{27}x+\frac{58}{81},
que é equivalente à forma de Newton anterior (confere-se avaliando ambos em x=9).

Resposta

P_3(x)=1+\dfrac{1}{3}(x-1)+\dfrac{1}{18}(x-1)(x-4)+\dfrac{1}{162}(x-1)(x-4)(x-7)\n
f(9)\approx P_3(9)=\dfrac{517}{81}\approx 6,382716049

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