Considere a função
:
a. Verifique se a função possui apenas um zero no intervalo
b. Sabendo que o método iterativo da Bissecção para encontrar o zero de uma função real, contido no intervalo
, é descrito por
, então:
i. usando o método da Bissecção e arredondamento para três dígitos significativos, encontre uma solução aproximada para
que com certeza esteja a uma distância menor que
da raiz desta equação.
ii. verifique se o método da Bissecção pode ser aplicado para encontrar uma solução aproximada para a equação
no intervalo $[0.5,1.0]
a. Verifique se a função possui apenas um zero no intervalo
b. Sabendo que o método iterativo da Bissecção para encontrar o zero de uma função real, contido no intervalo
i. usando o método da Bissecção e arredondamento para três dígitos significativos, encontre uma solução aproximada para
ii. verifique se o método da Bissecção pode ser aplicado para encontrar uma solução aproximada para a equação
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas principais no intervalo
:
- (a) Verificar se a função possui apenas um zero (uma única raiz) em
. - (b.i) Usar o método da Bissecção com arredondamento para três dígitos significativos para obter uma aproximação de
que esteja com certeza a uma distância menor que da raiz. - (b.ii) Verificar se o método da Bissecção pode ser aplicado para encontrar uma solução aproximada para
no intervalo .
Informações relevantes dadas (já anotadas, sem iniciar a resolução):
- Função:
. - Intervalo de interesse:
. - Tarefa numérica: método da Bissecção com arredondamento para 3 dígitos significativos; tolerância de erro desejada
.
Passo 2
Mostrando existência e unicidade da raiz em
(parte (a)) — primeiro pedaço teórico e prático.
-
Continuidade e derivada: expliquei por partes:
- A função exponencial
e a função identidade são contínuas e diferenciáveis. O produto e a subtração preservam continuidade e diferenciabilidade. - Portanto
é contínua e diferenciável em todo .
- A função exponencial
-
Derivada e monotonicidade (isso é útil para unicidade):
- Calcule a derivada:
Aqui eu usei a regra do produto: . - Em
temos , logo . Além disso para todo . Portanto Uma função com derivada estritamente positiva é estritamente crescente no intervalo. Conclusão: é estritamente crescente em .
- Calcule a derivada:
-
Existência de raiz pelo Teorema do Valor Intermediário:
- Avaliando os extremos do intervalo (vou calcular e arredondar só para verificar sinais):
- Avaliando os extremos do intervalo (vou calcular e arredondar só para verificar sinais):
- Como
é contínua e e têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em .
- Unicidade:
- Já que
é estritamente crescente em , não pode ter duas raízes distintas nesse intervalo (duas raízes implicariam mudança de sinal e não-crescimento em algum trecho). Portanto existe exatamente uma raiz em .
- Já que
Conclusão parcial (resposta à letra (a)): sim, há exatamente uma raiz em
.
Passo 3
Explicando o método da Bissecção e o critério de erro (teoria necessária para a letra (b.i)).
-
Ideia do método:
- Começamos com um intervalo inicial
tal que . Então tomamos o ponto médio - Se
então a raiz está em ; caso contrário está em (considerando que não caímos exatamente em raiz). - Repetimos até a incerteza ser aceitável.
- Começamos com um intervalo inicial
-
Cota de erro:
- Se o comprimento inicial do intervalo é
, então após iterações o comprimento do intervalo é - O ponto médio final está a no máximo metade desse comprimento do verdadeiro zero, ou seja o erro máximo (em valor absoluto) satisfaça
onde é a raiz real. Essa é a garantia clássica do método da Bissecção.
- Se o comprimento inicial do intervalo é
-
Quantas iterações são necessárias para a precisão pedida:
- Aqui queremos erro menor que
. Com , exigimos - Isso dá
. Como e , precisamos de , ou seja . - Conclusão: com
iterações a cota teórica já garante erro inferior a .
- Aqui queremos erro menor que
-
Arredondamento para três dígitos significativos — regra que vamos aplicar em cada passo:
- Três dígitos significativos (3 s.f.) significa manter três algarismos contados a partir do primeiro dígito não nulo e arredondar o terceiro conforme o quarto dígito (regra usual de arredondamento: >=5 sobe).
- Exemplos rápidos:
em 3 s.f. escreve-se ; em 3 s.f. vira ; vira . - Em cada iteração vou arredondar o ponto médio
para 3 s.f. e avaliarei nesse (também arredondando o valor de para 3 s.f. quando necessário para decidir o sinal).
Passo 4
Aplicando o método da Bissecção com arredondamento para 3 dígitos significativos — realizar as iterações (precisamos de
iterações para garantir erro <
).
Dados iniciais:
,
, comprimento inicial
.
Iteração 1:
- Ponto médio:
- Avaliação:
Sinal positivo a raiz está em . Atualizo .
Iteração 2:
- Ponto médio:
- Avaliação:
Sinal positivo a raiz está em . Atualizo .
Iteração 3:
- Ponto médio:
- Avaliação (usar
): Sinal negativo a raiz está em . Atualizo .
Iteração 4:
- Ponto médio:
- Avaliação:
Sinal positivo a raiz está em . Atualizo .
Iteração 5:
- Ponto médio:
- Avaliação:
Sinal positivo a raiz está em . Atualizo .
Análise do intervalo final:
- Após 5 iterações (com os arredondamentos aplicados), o intervalo que contém a raiz é
. - Comprimento desse intervalo:
. - O erro máximo do ponto médio no pior caso é
. Portanto a aproximação está a uma distância menor que da raiz.
Escolha da aproximação final:
- Tomando o último ponto médio arredondado para 3 s.f., obtemos a aproximação
- E garantimos, pela desigualdade acima, que
.
Passo 5
Verificação formal se o método da Bissecção pode ser aplicado no intervalo
(parte (b.ii)):
- Condição necessária para aplicar Bissecção é que
seja contínua em e que . - Já mostramos que
é contínua em todo (passo 2). - Calculamos sinais nas extremidades:
e . Produto dos sinais é negativo. - Portanto a condição é satisfeita e o método da Bissecção pode ser aplicado no intervalo
.
Resposta
(a) Sim — existe exatamente uma raiz em
.
(b.i) Uma aproximação obtida pelo método da Bissecção com arredondamento a 3 dígitos significativos e garantia de erro é
.
(b.ii) Sim — o método pode ser aplicado, pois é contínua em
e
.
(b.i) Uma aproximação obtida pelo método da Bissecção com arredondamento a 3 dígitos significativos e garantia de erro
(b.ii) Sim — o método pode ser aplicado, pois