Considere a função \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x} \boldsymbol{e}^{\boldsymbol{x}}-\mathbf{1} :
a. Verifique se a função possui apenas um zero no intervalo [0.5,1.0]
b. Sabendo que o método iterativo da Bissecção para encontrar o zero de uma função real, contido no intervalo \left[a^{(k)}, b^{(k)}\right], é descrito por x^{(k+1)}=\frac{a^{(k)}+b^{(k)}}{2}, então:
i. usando o método da Bissecção e arredondamento para três dígitos significativos, encontre uma solução aproximada para f(x)=0 que com certeza esteja a uma distância menor que 10^{-2} da raiz desta equação.
ii. verifique se o método da Bissecção pode ser aplicado para encontrar uma solução aproximada para a equação f(x)=0 no intervalo $[0.5,1.0]

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=x e^{x}-1\; e pede duas coisas principais no intervalo [0{,}5,\,1{,}0]:
  • (a) Verificar se a função possui apenas um zero (uma única raiz) em [0{,}5,\,1{,}0].
  • (b.i) Usar o método da Bissecção com arredondamento para três dígitos significativos para obter uma aproximação de f(x)=0 que esteja com certeza a uma distância menor que 10^{-2} da raiz.
  • (b.ii) Verificar se o método da Bissecção pode ser aplicado para encontrar uma solução aproximada para f(x)=0 no intervalo [0{,}5,\,1{,}0].
Informações relevantes dadas (já anotadas, sem iniciar a resolução):
  • Função: \;f(x)=x e^{x}-1\;.
  • Intervalo de interesse: \;[0{,}5,\,1{,}0]\;.
  • Tarefa numérica: método da Bissecção com arredondamento para 3 dígitos significativos; tolerância de erro desejada 10^{-2}.

Passo 2

Mostrando existência e unicidade da raiz em [0{,}5,\,1{,}0] (parte (a)) — primeiro pedaço teórico e prático.
  1. Continuidade e derivada: expliquei por partes:
    • A função exponencial e^{x} e a função identidade x são contínuas e diferenciáveis. O produto e a subtração preservam continuidade e diferenciabilidade.
    • Portanto f é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}.
  2. Derivada e monotonicidade (isso é útil para unicidade):
    • Calcule a derivada: f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x e^{x}-1\big)=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).Aqui eu usei a regra do produto: \frac{d}{dx}(x e^{x}) = 1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}.
    • Em [0{,}5,\,1{,}0] temos x\ge 0{,}5>-1, logo 1+x>0. Além disso e^{x}>0 para todo x. Portanto f'(x)=e^{x}(1+x)>0\quad\text{para todo }x\in[0{,}5,\,1{,}0].Uma função com derivada estritamente positiva é estritamente crescente no intervalo. Conclusão: f é estritamente crescente em [0{,}5,\,1{,}0].
  3. Existência de raiz pelo Teorema do Valor Intermediário:
    • Avaliando os extremos do intervalo (vou calcular e arredondar só para verificar sinais): f(0{,}5)=0{,}5\,e^{0{,}5}-1\approx 0{,}82436-1=-0{,}17564<0,
f(1{,}0)=1{,}0\,e^{1{,}0}-1=e-1\approx 1{,}71828>0.
  • Como f é contínua e f(0{,}5) e f(1{,}0) têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em [0{,}5,\,1{,}0].
  1. Unicidade:
    • Já que f é estritamente crescente em [0{,}5,\,1{,}0], não pode ter duas raízes distintas nesse intervalo (duas raízes implicariam mudança de sinal e não-crescimento em algum trecho). Portanto existe exatamente uma raiz em [0{,}5,\,1{,}0].
Conclusão parcial (resposta à letra (a)): sim, há exatamente uma raiz em [0{,}5,\,1{,}0].

Passo 3

Explicando o método da Bissecção e o critério de erro (teoria necessária para a letra (b.i)).
  1. Ideia do método:
    • Começamos com um intervalo inicial \big[a^{(0)},b^{(0)}\big] tal que f\big(a^{(0)}\big)f\big(b^{(0)}\big)<0. Então tomamos o ponto médio x^{(k+1)}=\frac{a^{(k)}+b^{(k)}}{2}.
    • Se f\big(a^{(k)}\big)f\big(x^{(k+1)}\big)<0 então a raiz está em \big[a^{(k)},x^{(k+1)}\big]; caso contrário está em \big[x^{(k+1)},b^{(k)}\big] (considerando que não caímos exatamente em raiz).
    • Repetimos até a incerteza ser aceitável.
  2. Cota de erro:
    • Se o comprimento inicial do intervalo é L_{0}=b^{(0)}-a^{(0)}, então após k iterações o comprimento do intervalo é L_{k}=\frac{L_{0}}{2^{k}}.
    • O ponto médio final está a no máximo metade desse comprimento do verdadeiro zero, ou seja o erro máximo (em valor absoluto) satisfaça |x^{(k)}-x^*|\le \frac{L_{k}}{2}=\frac{L_{0}}{2^{k+1}},onde x^* é a raiz real. Essa é a garantia clássica do método da Bissecção.
  3. Quantas iterações são necessárias para a precisão pedida:
    • Aqui queremos erro menor que 10^{-2}. Com L_{0}=1{,}0-0{,}5=0{,}5, exigimos \frac{0{,}5}{2^{k+1}}<10^{-2}.
    • Isso dá 2^{k+1}>50. Como 2^{5}=32 e 2^{6}=64, precisamos de k+1\ge 6, ou seja k\ge 5.
    • Conclusão: com 5 iterações a cota teórica já garante erro inferior a 10^{-2}.
  4. Arredondamento para três dígitos significativos — regra que vamos aplicar em cada passo:
    • Três dígitos significativos (3 s.f.) significa manter três algarismos contados a partir do primeiro dígito não nulo e arredondar o terceiro conforme o quarto dígito (regra usual de arredondamento: >=5 sobe).
    • Exemplos rápidos: 0{,}75 em 3 s.f. escreve-se 0{,}750; 0{,}5625 em 3 s.f. vira 0{,}563; 0{,}5785 vira 0{,}579.
    • Em cada iteração vou arredondar o ponto médio x^{(k)} para 3 s.f. e avaliarei f nesse x^{(k)} (também arredondando o valor de f para 3 s.f. quando necessário para decidir o sinal).

Passo 4

Aplicando o método da Bissecção com arredondamento para 3 dígitos significativos — realizar as iterações (precisamos de 5 iterações para garantir erro < 10^{-2}).
Dados iniciais: a^{(0)}=0{,}5, b^{(0)}=1{,}0, comprimento inicial L_{0}=0{,}5.
Iteração 1:
  • Ponto médio: x^{(1)}=\frac{0{,}5+1{,}0}{2}=0{,}75\quad\text{(3 s.f.: }0{,}750\text{).}
  • Avaliação: f(0{,}750)=0{,}750\,e^{0{,}750}-1\approx 0{,}58775\quad\text{(3 s.f.: }0{,}588\text{).}Sinal positivo \Rightarrow a raiz está em [0{,}5,\,0{,}750]. Atualizo b^{(1)}=0{,}750.
Iteração 2:
  • Ponto médio: x^{(2)}=\frac{0{,}5+0{,}750}{2}=0{,}625\quad\text{(3 s.f.: }0{,}625\text{).}
  • Avaliação: f(0{,}625)=0{,}625\,e^{0{,}625}-1\approx 0{,}16890\quad\text{(3 s.f.: }0{,}169\text{).}Sinal positivo \Rightarrow a raiz está em [0{,}5,\,0{,}625]. Atualizo b^{(2)}=0{,}625.
Iteração 3:
  • Ponto médio: x^{(3)}=\frac{0{,}5+0{,}625}{2}=0{,}5625\quad\text{(3 s.f.: }0{,}563\text{).}
  • Avaliação (usar x^{(3)}=0{,}563): f(0{,}563)=0{,}563\,e^{0{,}563}-1\approx -0{,}011406\quad\text{(3 s.f.: }-0{,}0114\text{).}Sinal negativo \Rightarrow a raiz está em [0{,}563,\,0{,}625]. Atualizo a^{(3)}=0{,}563.
Iteração 4:
  • Ponto médio: x^{(4)}=\frac{0{,}563+0{,}625}{2}=0{,}594\quad\text{(3 s.f.: }0{,}594\text{).}
  • Avaliação: f(0{,}594)=0{,}594\,e^{0{,}594}-1\approx 0{,}07562\quad\text{(3 s.f.: }0{,}0756\text{).}Sinal positivo \Rightarrow a raiz está em [0{,}563,\,0{,}594]. Atualizo b^{(4)}=0{,}594.
Iteração 5:
  • Ponto médio: x^{(5)}=\frac{0{,}563+0{,}594}{2}=0{,}5785\quad\text{(3 s.f.: }0{,}579\text{).}
  • Avaliação: f(0{,}579)=0{,}579\,e^{0{,}579}-1\approx 0{,}03308\quad\text{(3 s.f.: }0{,}0331\text{).}Sinal positivo \Rightarrow a raiz está em [0{,}563,\,0{,}579]. Atualizo b^{(5)}=0{,}579.
Análise do intervalo final:
  • Após 5 iterações (com os arredondamentos aplicados), o intervalo que contém a raiz é [a^{(5)},b^{(5)}]=[0{,}563,\,0{,}579].
  • Comprimento desse intervalo: L_{5}=0{,}579-0{,}563=0{,}016.
  • O erro máximo do ponto médio no pior caso é \le L_{5}/2=0{,}008<10^{-2}. Portanto a aproximação está a uma distância menor que 10^{-2} da raiz.
Escolha da aproximação final:
  • Tomando o último ponto médio arredondado para 3 s.f., obtemos a aproximação x\approx 0{,}579.
  • E garantimos, pela desigualdade acima, que |0{,}579-x^*|<10^{-2}.

Passo 5

Verificação formal se o método da Bissecção pode ser aplicado no intervalo [0{,}5,\,1{,}0] (parte (b.ii)):
  • Condição necessária para aplicar Bissecção é que f seja contínua em [a,b] e que f(a)f(b)<0.
  • Já mostramos que f é contínua em todo \mathbb{R} (passo 2).
  • Calculamos sinais nas extremidades: f(0{,}5)\approx -0{,}17564<0 e f(1{,}0)=e-1\approx 1{,}71828>0. Produto dos sinais é negativo.
  • Portanto a condição é satisfeita e o método da Bissecção pode ser aplicado no intervalo [0{,}5,\,1{,}0].

Resposta

(a) Sim — existe exatamente uma raiz em [0{,}5,\,1{,}0].
(b.i) Uma aproximação obtida pelo método da Bissecção com arredondamento a 3 dígitos significativos e garantia de erro <10^{-2} é 0{,}579.
(b.ii) Sim — o método pode ser aplicado, pois f é contínua em [0{,}5,\,1{,}0] e f(0{,}5)f(1{,}0)<0.

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