Usando o método da Bissecção, encontre um valor aproximado para
que esteja a no máximo
da solução.
Passo 1
O enunciado pede: “Usando o método da Bissecção, encontre um valor aproximado para
que esteja a no máximo
da solução.”\n
Informações dadas e escolhas óbvias:
Informações dadas e escolhas óbvias:
- Queremos aproximar
. - A tolerância do erro absoluto pedida é
(ou seja, queremos uma aproximação com erro ). - O enunciado não dá um intervalo inicial, então escolhemos um intervalo óbvio onde
está: (porque e ). - Definimos a função cujas raízes correspondem a
: .
Passo 2
Explicando o método da bissecção (passo a passo e de forma didática):\n
- Requisito: o método exige uma função contínua
num intervalo e que e tenham sinais opostos (ou seja, ). Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe uma raiz em . - Procedimento: calcular o ponto médio
. Se achamos a raiz; senão, escolhemos o subintervalo ou onde muda de sinal e repetimos. A cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por . - Cota de erro (importante para a prova): se o intervalo inicial tem comprimento
, após iterações o comprimento do subintervalo que contém a raiz é
Tomando como aproximação o ponto médio do subintervalo final (denotado por
), a distância entre
e a raiz é no máximo metade desse comprimento, ou seja
Para garantir erro
tol, basta escolher
tal que
Passo 3
Aplicando a cota ao nosso caso:
tem
e queremos tol
. Então exigimos
Isso é equivalente a
Tomando logaritmo base
,
logo
Como
deve ser inteiro, tomamos
. Ou seja, com
iterações teremos, ao tomar o ponto médio do subintervalo resultante, erro garantido menor ou igual a
. Portanto
iterações são suficientes.
Passo 4
Executando as
iterações da bissecção (vou mostrar os cálculos das avaliações de
passo a passo):
-
Iteração 0 (inicial):
, . Sinais opostos, ótimo. -
Iteração 1: calcular
. Comoe , a raiz está em . Assim , . -
Iteração 2: calcular
. Comoe , a raiz está em . Assim , . -
Iteração 3: calcular
. Comoe , a raiz está em . Assim após iterações temos o intervalo
Passo 5
Formando a aproximação final: tomamos o ponto médio do subintervalo resultante depois de
iterações:
Verificação da cota de erro teórica:
portanto
satisfaz a tolerância pedida. Se quisermos ver a diferença real (só para confirmar),
e