Usando o método da Bissecção, encontre um valor aproximado para \sqrt{2} que esteja a no máximo 10^{-1} da solução.

Passo 1

O enunciado pede: “Usando o método da Bissecção, encontre um valor aproximado para \sqrt{2} que esteja a no máximo 10^{-1} da solução.”\n
Informações dadas e escolhas óbvias:
  • Queremos aproximar \sqrt{2}.
  • A tolerância do erro absoluto pedida é 10^{-1} (ou seja, queremos uma aproximação com erro \le 0,1).
  • O enunciado não dá um intervalo inicial, então escolhemos um intervalo óbvio onde \sqrt{2} está: [1,2] (porque 1^2=1<2 e 2^2=4>2).
  • Definimos a função cujas raízes correspondem a \sqrt{2}: f(x)=x^2-2.

Passo 2

Explicando o método da bissecção (passo a passo e de forma didática):\n
  • Requisito: o método exige uma função contínua f num intervalo [a,b] e que f(a) e f(b) tenham sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0). Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe uma raiz em [a,b].
  • Procedimento: calcular o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}. Se f(m)=0 achamos a raiz; senão, escolhemos o subintervalo [a,m] ou [m,b] onde f muda de sinal e repetimos. A cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2.
  • Cota de erro (importante para a prova): se o intervalo inicial tem comprimento b-a, após n iterações o comprimento do subintervalo que contém a raiz é
L_n=\dfrac{b-a}{2^n}.
Tomando como aproximação o ponto médio do subintervalo final (denotado por p_n), a distância entre p_n e a raiz é no máximo metade desse comprimento, ou seja
|p_n - r| \le \dfrac{L_n}{2} = \dfrac{b-a}{2^{n+1}}.
Para garantir erro \le tol, basta escolher n tal que
\dfrac{b-a}{2^{n+1}} \le \text{tol}.

Passo 3

Aplicando a cota ao nosso caso: [a,b]=[1,2] tem b-a=1 e queremos tol =10^{-1}. Então exigimos
\dfrac{1}{2^{n+1}} \le 10^{-1}.
Isso é equivalente a
2^{n+1} \ge 10.
Tomando logaritmo base 2,
n+1 \ge \log_2 10 \approx 3{,}3219,
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n \ge 3{,}3219 - 1 \approx 2{,}3219.
Como n deve ser inteiro, tomamos n=3. Ou seja, com 3 iterações teremos, ao tomar o ponto médio do subintervalo resultante, erro garantido menor ou igual a 1/16=0{,}0625<0{,}1. Portanto 3 iterações são suficientes.

Passo 4

Executando as 3 iterações da bissecção (vou mostrar os cálculos das avaliações de f passo a passo):
  • Iteração 0 (inicial): a_0=1, b_0=2.
    f(1)=1^2-2=-1,\qquad f(2)=2^2-2=2.
    Sinais opostos, ótimo.
  • Iteração 1: calcular m_1=\dfrac{1+2}{2}=1{,}5.
    f(1{,}5)=1{,}5^2-2=2{,}25-2=0{,}25>0.
    Como f(1)=-1<0 e f(1{,}5)=0{,}25>0, a raiz está em [1,1{,}5]. Assim a_1=1, b_1=1{,}5.
  • Iteração 2: calcular m_2=\dfrac{1+1{,}5}{2}=1{,}25.
    f(1{,}25)=1{,}25^2-2=1{,}5625-2=-0{,}4375<0.
    Como f(1{,}25)<0 e f(1{,}5)>0, a raiz está em [1{,}25,1{,}5]. Assim a_2=1{,}25, b_2=1{,}5.
  • Iteração 3: calcular m_3=\dfrac{1{,}25+1{,}5}{2}=1{,}375.
    f(1{,}375)=1{,}375^2-2=1{,}890625-2=-0{,}109375<0.
    Como f(1{,}375)<0 e f(1{,}5)>0, a raiz está em [1{,}375,1{,}5]. Assim após 3 iterações temos o intervalo
    [a_3,b_3]=[1{,}375,\;1{,}5].

Passo 5

Formando a aproximação final: tomamos o ponto médio do subintervalo resultante depois de 3 iterações:
p_3=\dfrac{a_3+b_3}{2}=\dfrac{1{,}375+1{,}5}{2}=1{,}4375.
Verificação da cota de erro teórica:
|p_3 - \sqrt{2}|\le \dfrac{b-a}{2^{3+1}}=\dfrac{1}{16}=0{,}0625<0{,}1,
portanto p_3 satisfaz a tolerância pedida. Se quisermos ver a diferença real (só para confirmar), \sqrt{2}\approx1{,}41421356 e
|1{,}4375-1{,}41421356|\approx0{,}02328644<0{,}1.

Resposta

1{,}4375

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