Questão 13 - Regra do Ponto Médio
Abaixo temos uma integral imprópria, com um ponto de descontinuidade no integrando
para um dos limites de integração. Com dez subintervalos iguais, dê o valor aproximado dessa integral usando retângulos em cada ponto médio do subintervalo (regra do ponto médio)
Regra do Ponto médio (basicamente uma aplicação da Soma de Riemann)
Se temos M subintervalo iguais
com
igual ao ponto médio do subintervalo
e
sendo o valor do integrando
no ponto médio, a integral é aproximada por
Resposta: cerca de 1.6352
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede aproximar a integral imprópria
usando a regra do ponto médio com subintervalos iguais. - Informação importante: o integrando
tem descontinuidade em (pois zera aí), então a integral é imprópria. - Foi especificado usar a regra do ponto médio (ou seja, retângulos avaliados nos pontos médios de cada subintervalo) com
.
Passo 2
Relembrando a regra do ponto médio e definindo os parâmetros:
- A regra do ponto médio para
subintervalos usa
onde
é a largura de cada subintervalo e
é o ponto médio do
-ésimo subintervalo
.
- Aqui temos
, e . Então
Passo 3
Construindo os pontos médios:
- O ponto médio geral é
para . - Calculando:
Passo 4
Comentário sobre a singularidade em
e validade prática da regra:
- A função tem singularidade em
, mas os pontos médios são estritamente maiores que ( é positivo), portanto nenhuma avaliação direta envolve o ponto singular. - Como a integral impropriamente converge (essa é informação que podemos usar; a integral exata existe), a aproximação por soma de Riemann/Médios é razoável e praticável aqui.
Passo 5
Avaliar
em cada ponto médio (mostro os passos aritméticos para cada
):
-
Para
:
,
,
,
. -
Para
:
,
,
,
. -
Para
:
,
,
,
. -
Para
:
,
,
,
. -
Para
:
,
,
,
. -
Para
:
,
,
,
. -
Para
:
,
,
,
. -
Para
:
,
,
,
. -
Para
:
,
,
,
. -
Para
:
,
,
,
.
(Observação prática: eu calculei cada
, depois multipliquei por
e então fiz a inversa para obter
. Esses passos são os que você faria na prova, usando uma calculadora para raízes e divisões.)
Passo 6
Somando os valores e multiplicando por
:
- Soma dos
:
- Multiplicando por
:
Passo 7
Interpretação final e arredondamento:
- O valor obtido pela regra do ponto médio com
subintervalos é aproximadamente (arredondando para quatro casas decimais). - Nota rápida de comparação: a integral exata é
, então com retângulos a aproximação por ponto médio subestima um pouco aqui (isso foi só para referência).