Questão 13 - Regra do Ponto Médio

Abaixo temos uma integral imprópria, com um ponto de descontinuidade no integrando f(x) para um dos limites de integração. Com dez subintervalos iguais, dê o valor aproximado dessa integral usando retângulos em cada ponto médio do subintervalo (regra do ponto médio)
\int_{0}^{2} \frac{1}{(x+1) \sqrt{x}} d x

Regra do Ponto médio (basicamente uma aplicação da Soma de Riemann)

Se temos M subintervalo iguais \mathrm{a} \mathrm{h}=(\mathrm{b}-\mathrm{a}) / \mathrm{M} com m_{i} igual ao ponto médio do subintervalo \left[x_{i}, x_{i+1}\right] e f\left(m_{i}\right) sendo o valor do integrando f(x) no ponto médio, a integral é aproximada por
\int_{a}^{b} f(x) \approx h \sum_{i} f\left(m_{i}\right)
Resposta: cerca de 1.6352
\int_{0}^{2} \frac{1}{(x+1) \sqrt{x}} d x=2 \tan ^{-1}(\sqrt{2}) \approx 1.9106

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede aproximar a integral imprópria \displaystyle \int_{0}^{2} \frac{1}{(x+1)\sqrt{x}}\,dx usando a regra do ponto médio com 10 subintervalos iguais.
  • Informação importante: o integrando \displaystyle \frac{1}{(x+1)\sqrt{x}} tem descontinuidade em x=0 (pois \sqrt{x} zera aí), então a integral é imprópria.
  • Foi especificado usar a regra do ponto médio (ou seja, retângulos avaliados nos pontos médios de cada subintervalo) com M=10.

Passo 2

Relembrando a regra do ponto médio e definindo os parâmetros:
  • A regra do ponto médio para M subintervalos usa
\int_{a}^{b} f(x)\approx h\sum_{i=1}^{M} f(m_i),
onde h=(b-a)/M é a largura de cada subintervalo e m_i é o ponto médio do i-ésimo subintervalo [x_{i-1},x_i].
  • Aqui temos a=0, b=2 e M=10. Então
h=\frac{2-0}{10}=0,2.

Passo 3

Construindo os pontos médios:
  • O ponto médio geral é m_i=a+(i-0,5)h para i=1,\dots,10.
  • Calculando:
m_1=0,1,\; m_2=0,3,\; m_3=0,5,\; m_4=0,7,\; m_5=0,9,
m_6=1,1,\; m_7=1,3,\; m_8=1,5,\; m_9=1,7,\; m_{10}=1,9.

Passo 4

Comentário sobre a singularidade em x=0 e validade prática da regra:
  • A função tem singularidade em x=0, mas os pontos médios m_i são estritamente maiores que 0 ( m_1=0,1 é positivo), portanto nenhuma avaliação direta envolve o ponto singular.
  • Como a integral impropriamente converge (essa é informação que podemos usar; a integral exata existe), a aproximação por soma de Riemann/Médios é razoável e praticável aqui.

Passo 5

Avaliar f(m_i)=\dfrac{1}{(m_i+1)\sqrt{m_i}} em cada ponto médio (mostro os passos aritméticos para cada m_i):
  • Para m_1=0,1:
    \sqrt{m_1}=0,3162277660,
    m_1+1=1,1,
    (m_1+1)\sqrt{m_1}=0,3478505426,
    f(m_1)=\dfrac{1}{0,3478505426}\approx 2,8738050884.
  • Para m_2=0,3:
    \sqrt{m_2}=0,5477225575,
    m_2+1=1,3,
    (m_2+1)\sqrt{m_2}=0,7110393248,
    f(m_2)\approx 1,4057295266.
  • Para m_3=0,5:
    \sqrt{m_3}=0,7071067812,
    m_3+1=1,5,
    (m_3+1)\sqrt{m_3}=1,0606601718,
    f(m_3)\approx 0,9428090416.
  • Para m_4=0,7:
    \sqrt{m_4}=0,8366600265,
    m_4+1=1,7,
    (m_4+1)\sqrt{m_4}\approx 1,4223220440,
    f(m_4)\approx 0,7030209670.
  • Para m_5=0,9:
    \sqrt{m_5}=0,9486832981,
    m_5+1=1,9,
    (m_5+1)\sqrt{m_5}\approx 1,8024982663,
    f(m_5)\approx 0,5547358121.
  • Para m_6=1,1:
    \sqrt{m_6}=1,0488088482,
    m_6+1=2,1,
    (m_6+1)\sqrt{m_6}\approx 2,2024985812,
    f(m_6)\approx 0,4540379241.
  • Para m_7=1,3:
    \sqrt{m_7}=1,1401754251,
    m_7+1=2,3,
    (m_7+1)\sqrt{m_7}\approx 2,6224034777,
    f(m_7)\approx 0,3814031201.
  • Para m_8=1,5:
    \sqrt{m_8}=1,2247448714,
    m_8+1=2,5,
    (m_8+1)\sqrt{m_8}\approx 3,0618621785,
    f(m_8)\approx 0,3265986324.
  • Para m_9=1,7:
    \sqrt{m_9}=1,3038404810,
    m_9+1=2,7,
    (m_9+1)\sqrt{m_9}\approx 3,5203692988,
    f(m_9)\approx 0,2839691183.
  • Para m_{10}=1,9:
    \sqrt{m_{10}}=1,3784048752,
    m_{10}+1=2,9,
    (m_{10}+1)\sqrt{m_{10}}\approx 3,9972746371,
    f(m_{10})\approx 0,2501713598.
(Observação prática: eu calculei cada \sqrt{m_i}, depois multipliquei por m_i+1 e então fiz a inversa para obter f(m_i). Esses passos são os que você faria na prova, usando uma calculadora para raízes e divisões.)

Passo 6

Somando os valores e multiplicando por h:
  • Soma dos f(m_i):
\sum_{i=1}^{10} f(m_i)\approx 2,8738050884+1,4057295266+0,9428090416+0,7030209670
+0,5547358121+0,4540379241+0,3814031201+0,3265986324+0,2839691183+0,2501713598
\approx 8,1762805902.
  • Multiplicando por h=0,2:
h\sum_{i=1}^{10} f(m_i)\approx 0,2\cdot 8,1762805902\approx 1,6352561180.

Passo 7

Interpretação final e arredondamento:
  • O valor obtido pela regra do ponto médio com 10 subintervalos é aproximadamente 1,6353 (arredondando para quatro casas decimais).
  • Nota rápida de comparação: a integral exata é \displaystyle 2\arctan(\sqrt{2})\approx 1,9106, então com 10 retângulos a aproximação por ponto médio subestima um pouco aqui (isso foi só para referência).

Resposta

\approx 1,6353

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