Questão 9 - Calcule o valor aproximado da integral
Usando a segunda regra de Simpson simples (ou seja, com
subintervalos iguais).
Usando a segunda regra de Simpson simples (ou seja, com
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando a “segunda regra de Simpson simples” com
subintervalos iguais. Informações dadas:
A tarefa é aplicar a regra de integração apropriada para
subintervalos e calcular o valor aproximado de
.
Passo 2
Explicação didática da regra a usar. Para
subintervalos existe a regra conhecida como regra de Simpson 3/8 (também chamada às vezes de segunda regra de Simpson simples). A fórmula é a seguinte.
Se
e
são os extremos do intervalo e
, definimos os nós
A regra de Simpson 3/8 aproxima a integral por
O que cada termo significa:
-
é a largura de cada subintervalo (distância entre nós consecutivos). -
são os valores da função nos nós. - Os coeficientes
vêm do procedimento de interpolação cúbica que gera essa regra.
Vou aplicar exatamente essa fórmula ao nosso caso.
Passo 3
Calcular
e os nós para
e
:
Logo os nós são
Passo 4
Calcular os valores
em cada nó. Vou usar aproximações decimais razoáveis (usando
).
(Estas são aproximações padrão para as potências de
.)
Passo 5
Formar a combinação ponderada da fórmula: calcule
Substituindo os valores aproximados:
Agora faço as multiplicações e somas passo a passo:
Somando tudo:
Passo 6
Aplicar o fator
. Como
,
Portanto a aproximação é
Multiplicando:
Passo 7
Breve comentário final (motivação): a regra de Simpson 3/8 usa 4 pontos (3 subintervalos) e dá a fórmula que aplicamos. A precisão depende da regularidade da função; aqui
decai rápido para
grande, então com poucos nós a aproximação fica razoável, mas não perfeita (a integral exata pode ser obtida com função erro, e é um pouco maior que nossa aproximação).