Questão 9 - Calcule o valor aproximado da integral I=\int_{0}^{3} e^{-\left(x^{2}\right)} d x
Usando a segunda regra de Simpson simples (ou seja, com \mathrm{M}=3 subintervalos iguais).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral \displaystyle I=\int_{0}^{3} e^{-\left(x^{2}\right)}\,dx usando a “segunda regra de Simpson simples” com M=3 subintervalos iguais. Informações dadas:
\text{Função: } f(x)=e^{-x^{2}},\quad \text{intervalo: }[0,3],\quad M=3\text{ subintervalos iguais.}çã
A tarefa é aplicar a regra de integração apropriada para 3 subintervalos e calcular o valor aproximado de I.

Passo 2

Explicação didática da regra a usar. Para M=3 subintervalos existe a regra conhecida como regra de Simpson 3/8 (também chamada às vezes de segunda regra de Simpson simples). A fórmula é a seguinte.
Se a e b são os extremos do intervalo e h=(b-a)/3, definimos os nós
x_0=a,\; x_1=a+h,\; x_2=a+2h,\; x_3=b.
A regra de Simpson 3/8 aproxima a integral por
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr).
O que cada termo significa:
  • h é a largura de cada subintervalo (distância entre nós consecutivos).
  • f(x_0),f(x_1),f(x_2),f(x_3) são os valores da função nos nós.
  • Os coeficientes 1,3,3,1 vêm do procedimento de interpolação cúbica que gera essa regra.
    Vou aplicar exatamente essa fórmula ao nosso caso.

Passo 3

Calcular h e os nós para a=0 e b=3:
h=\frac{b-a}{3}=\frac{3-0}{3}=1.
Logo os nós são
x_0=0,\quad x_1=1,\quad x_2=2,\quad x_3=3.

Passo 4

Calcular os valores f(x_i)=e^{-x_i^{2}} em cada nó. Vou usar aproximações decimais razoáveis (usando e\approx 2,718281828\ldots).
f(x_0)=f(0)=e^{0}=1 \quad\Rightarrow\quad f(x_0)=1.
f(x_1)=f(1)=e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0,3678794412 \quad\Rightarrow\quad f(x_1)\approx 0,3678794412.
f(x_2)=f(2)=e^{-4}\approx 0,0183156389 \quad\Rightarrow\quad f(x_2)\approx 0,0183156389.
f(x_3)=f(3)=e^{-9}\approx 0,0001234098 \quad\Rightarrow\quad f(x_3)\approx 0,0001234098.
(Estas são aproximações padrão para as potências de e^{-1}.)

Passo 5

Formar a combinação ponderada da fórmula: calcule
S=f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3).
Substituindo os valores aproximados:
S\approx 1 + 3\cdot 0,3678794412 + 3\cdot 0,0183156389 + 0,0001234098.
Agora faço as multiplicações e somas passo a passo:
3\cdot 0,3678794412 \approx 1,1036383236,
3\cdot 0,0183156389 \approx 0,0549469167.
Somando tudo:
S\approx 1 + 1,1036383236 + 0,0549469167 + 0,0001234098.
S\approx 2,1587086501\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Aplicar o fator \dfrac{3h}{8}. Como h=1,
\frac{3h}{8}=\frac{3\cdot 1}{8}=\frac{3}{8}=0,375.
Portanto a aproximação é
I\approx \frac{3h}{8}\,S \approx 0,375\times 2,1587086501.
Multiplicando:
I\approx 0,8095157438\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Breve comentário final (motivação): a regra de Simpson 3/8 usa 4 pontos (3 subintervalos) e dá a fórmula que aplicamos. A precisão depende da regularidade da função; aqui e^{-x^2} decai rápido para x grande, então com poucos nós a aproximação fica razoável, mas não perfeita (a integral exata pode ser obtida com função erro, e é um pouco maior que nossa aproximação).

Resposta

0,809516

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