Da fórmula para calcular a área de um círculo e da equação da circunferência unitária, temos que
.
(a) Aproxime o valor de
utilizando a regra dos
-trapézios para
e 8 .
(b) Seja
a aproximação da integral acima calculada com o método dos
-trapézios referente ao espaçamento
. O valor exato da integral é o limite de
com
tendendo a zero. Podemos tentar estimar esse valor calculando-se o polinômio de grau 3 que interpola
nos pontos
e
e avaliando esse polinômio no ponto
como estimativa para a integral. Faça isso e compare o valor obtido com o valor de
fornecido pela calculadora.
(c) Queremos calcular
com erro inferior a
. Temos que as duas primeiras derivadas da função
são
Observe que essas derivadas não estão definidas no ponto
e não são limitadas no intervalo
, de modo que não podemos utilizar a fórmula do erro diretamente para estimar o valor de
necessário. Utilizando as simetrias do círculo, determine uma constante positiva
tal que
e estime o valor necessário de
para calcular a integral
pelo método dos
-trapézios com erro inferior a
.