Utilize as tabelas no apêndice para calcular as integrais abaixo por quadratura gaussiana:
integral1^infty e^-x x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar por quadratura gaussiana a integral
integral1^infty e^-xx^2,dx
O conteúdo aqui é a regra de Gauss–Laguerre, que serve para integrais da forma
integral0^infty e^-tf(t),dt

Passo 2

Transformamos a integral em forma padrão. Fazendo x = t+1, quando x vai de 1 a infty, t vai de 0 a infty. Assim
integral1^infty e^-xx^2,dx = integral0^infty e^-(t+1)(t+1)^2,dt = e^-1integral0^infty e^-t(t+1)^2,dt
Definimos então f(t)=(t+1)^2.

Passo 3

Usamos a quadratura de Gauss–Laguerre com n=2 pontos. Pelas tabelas, os nós ti e pesos wi são:
t1=2-raiz2, t2=2+raiz2,
w1=0,853553, w2=0,146447
A regra é
integral0^infty e^-tf(t),dt approx sumi=1^2 wif(ti)

Passo 4

Calculamos f(ti)=(ti+1)^2:
f(t1)=(2-raiz2+1)^2=(3-raiz2)^2approx 2,515, f(t2)=(2+raiz2+1)^2=(3+raiz2)^2approx 19,489

Passo 5

Aplicando a quadratura:
integral0^infty e^-t(t+1)^2,dt approx 0,853553times2,515 + 0,146447times19,489 approx 5,000
Multiplicando por e^-1:
integral1^infty e^-xx^2,dx approx e^-1times5 = 5e^-1approx1,8394

Resposta

integral1^infty e^-xx^2,dx approx 1,8394

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