Considere a função f(x)=e^x-4 x^2.
Considere o intervalo I=[-1,5]. Realize duas iterações do método da bissecção e escolha o ponto médio do último intervalo obtido como aproximação inicial para o método de Newton. Aplique o método de Newton e use como critério de parada o erro relativo inferior a 10^-2. Comparando com a localização dos zeros realizada no item (a), identifique qual o zero obtido neste processo e justifique por que a convergência foi para esta raiz.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a função
f(x)=e^x-4x^2
no intervalo f'(x)=e^x-8x, . Primeiro a gente faz duas iterações do método da bissecção pra achar um subintervalo que contenha uma raiz, pega o ponto médio desse último intervalo como chute inicial xn+1=xn-f(xn)f'(xn), para o método de Newton, e aí aplica Newton até o erro relativo ser menor que . Por fim, a gente compara com as raízes que você já tinha visto no item (a) e diz “opa, é essa aqui” e por que o Newton convergiu pra ela.
Pra isso vamos precisar de:
  1. calcular , e ver o sinal;
  2. aplicar duas vezes a regra da bissecção;
  3. derivar , ou seja
  1. iterar o passo de Newton
e checar o erro relativo.

Passo 2

Começando a bissecção em m1=-1+52=2, f(2)=e^2-4cdot2^2approx7.389-16=-8.611<0 :
  1. m2=2+52=3.5, f(3.5)=e^3.5-4cdot3.5^2approx33.115-49=-15.885<0 , .
    • (negativo)
    • (positivo)
      Então tem raiz em .
  2. Iteração 1: Como é negativo e é positivo, o novo intervalo é .
  3. Iteração 2: De novo e , então o intervalo vira .
Depois de duas iterações a gente tem o intervalo .

Passo 3

O chute inicial pro Newton é o ponto médio do último intervalo:
x0=3.5+52=4.25
Agora aplica Newton:
f(x)=e^x-4x^2, f'(x)=e^x-8x
Cálculo em f(4.25)approx e^4.25-4cdot4.25^2approx70.09-72.25=-2.16, :
f'(4.25)approx70.09-8cdot4.25=70.09-34=36.09
x1=4.25--2.1636.09approx4.25+0.0599=4.3099
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Passo 4

Faz mais uma iteração e testa o erro relativo:
Em f(4.3099)approx e^4.3099-4cdot4.3099^2approx74.4309-74.3396=0.0913, :
f'(4.3099)approx74.4309-8cdot4.3099=74.4309-34.4792=39.9517,
x2=4.3099-0.091339.9517approx4.3099-0.002285=4.307615
|x2-x1||x2|approx0.0022854.3076approx5.3times10^-4<10^-2,
Agora o erro relativo é
então paramos aqui.

Passo 5

A aproximação final deu
xapprox4.3076
Comparando com as raízes que você deve ter achado no item (a) (que são aproximadamente , e ), vimos que esse é o terceiro, o maior. A convergência foi pra essa raiz porque o chute inicial estava dentro do subintervalo onde só existe essa raiz, e o método de Newton “puxa” o ponto até a raiz mais próxima.

Resposta

A raiz obtida é , que corresponde à terceira raiz de .

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