Considere a função
.
Considere o intervalo
. Realize duas iterações do método da bissecção e escolha o ponto médio do último intervalo obtido como aproximação inicial para o método de Newton. Aplique o método de Newton e use como critério de parada o erro relativo inferior a
. Comparando com a localização dos zeros realizada no item (a), identifique qual o zero obtido neste processo e justifique por que a convergência foi para esta raiz.
Considere o intervalo
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem a função
no intervalo
. Primeiro a gente faz duas iterações do método da bissecção pra achar um subintervalo que contenha uma raiz, pega o ponto médio desse último intervalo como chute inicial
para o método de Newton, e aí aplica Newton até o erro relativo ser menor que
. Por fim, a gente compara com as raízes que você já tinha visto no item (a) e diz “opa, é essa aqui” e por que o Newton convergiu pra ela.
Pra isso vamos precisar de:
Pra isso vamos precisar de:
- calcular
, e ver o sinal; - aplicar duas vezes a regra da bissecção;
- derivar
, ou seja
- iterar o passo de Newton
e checar o erro relativo.
Passo 2
Começando a bissecção em
:
-
, . -
(negativo) -
(positivo)
Então tem raiz em.
-
- Iteração 1:
Como é negativo e é positivo, o novo intervalo é . - Iteração 2:
De novo e , então o intervalo vira .
Depois de duas iterações a gente tem o intervalo
.
Passo 3
O chute inicial pro Newton é o ponto médio do último intervalo:
Agora aplica Newton:
Cálculo em
:
Logo
Passo 4
Faz mais uma iteração e testa o erro relativo:
Em :
Em
Agora o erro relativo é
então paramos aqui.
Passo 5
A aproximação final deu
Comparando com as raízes que você deve ter achado no item (a) (que são aproximadamente
,
e
), vimos que esse é o terceiro, o maior. A convergência foi pra essa raiz porque o chute inicial
estava dentro do subintervalo
onde só existe essa raiz, e o método de Newton “puxa” o ponto até a raiz mais próxima.
Resposta
A raiz obtida é
, que corresponde à terceira raiz de
.