Mostre que a equação
possui uma única solução positiva.
Passo 1
Beleza, temos que mostrar que a equação
tem exatamente uma solução para
.
Conteúdo: aqui vamos usar cálculo diferencial e propriedades de funções contínuas e estritamente crescentes.
O que precisamos:
Conteúdo: aqui vamos usar cálculo diferencial e propriedades de funções contínuas e estritamente crescentes.
O que precisamos:
- Definir uma função
que transforme o problema em “achar raiz de ”. - Verificar que
é contínua e estritamente crescente em . - Verificar que
quando e quando . - Aplicar o Teorema do Valor Intermediário + monotonicidade para garantir existência única de raiz.
Passo 2
Definimos
para
. A nossa meta agora é mostrar que existe exatamente um
tal que
.
Passo 3
Vamos olhar para a derivada de
. Calma, é facinho:
Note que para todo
, cada termo
,
e
é positivo. Logo
ou seja,
é estritamente crescente em
.
Passo 4
Funções contínuas crescentes têm uma coisa legal: se em um extremo elas vão a
e no outro a
, elas passam exatamente uma vez por zero. Vamos checar esses limites:
-
Quando
:
e . Então . -
Quando
:
cresce devagar, , mas domina. Assim .
Passo 5
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua e vai de
a
, existe ao menos um
com
. Mas, como
é estritamente crescente (derivada sempre positiva), essa raiz tem de ser única. Se houvesse duas, a função não poderia subir sempre (teria que descer em algum trecho).
Resposta
A equação
possui exatamente uma solução positiva.