Mostre que a equação
ln x+x^3-1x=10
possui uma única solução positiva.

Passo 1

Beleza, temos que mostrar que a equação
ln x + x^3 - 1x = 10
tem exatamente uma solução para .
Conteúdo: aqui vamos usar cálculo diferencial e propriedades de funções contínuas e estritamente crescentes.
O que precisamos:
  1. Definir uma função que transforme o problema em “achar raiz de ”.
  2. Verificar que é contínua e estritamente crescente em .
  3. Verificar que quando e quando .
  4. Aplicar o Teorema do Valor Intermediário + monotonicidade para garantir existência única de raiz.

Passo 2

Definimos
f(x) = ln x + x^3 - 1x - 10,
para . A nossa meta agora é mostrar que existe exatamente um tal que .

Passo 3

Vamos olhar para a derivada de f'(x) = ddxl(ln xr) + ddxl(x^3r) - ddxl(tfrac1xr) = 1x + 3x^2 + 1x^2 . Calma, é facinho:
f'(x) > 0forall,x>0,
Note que para todo , cada termo , e é positivo. Logo
ou seja, é estritamente crescente em .

Passo 4

Funções contínuas crescentes têm uma coisa legal: se em um extremo elas vão a e no outro a , elas passam exatamente uma vez por zero. Vamos checar esses limites:
  1. Quando :
    e . Então .
  2. Quando :
    cresce devagar, , mas domina. Assim .

Passo 5

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como é contínua e vai de a , existe ao menos um com . Mas, como é estritamente crescente (derivada sempre positiva), essa raiz tem de ser única. Se houvesse duas, a função não poderia subir sempre (teria que descer em algum trecho).

Resposta

A equação possui exatamente uma solução positiva.

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