Questão 3 - (Valor: 2+3=5 pontos)
(b) Use o item (a) para resolver o seguinte problema de valor inicial pelo método das transformadas de Laplace
d^2 yd t^2+2 d yd t+26 y=26 t+2, y(0)=1 e y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes e condição inicial. O enunciado é:
d^2 yd t^2 + 2 d yd t + 26,y = 26,t + 2, y(0)=1,; y'(0)=0
Conteúdo: equações diferenciais e método das transformadas de Laplace.
O que a gente vai precisar:
  • Saber a definição e propriedades da transformada de Laplace, especialmente para derivadas.
  • Tabela básica de transformadas (polinômio, exponencial, seno, cosseno).
  • Fazer frações parciais e inverter a transformada.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando:
Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2 Y(s)-s,y(0)-y'(0)
Então, transformando cada termo:
[
\mathcal{L}{y’’} + 2,\mathcal{L}{y’} +26,\mathcal{L}{y}

\mathcal{L}{26t+2}.
]

Passo 3

Calcular cada transformada:
  • l(s^2Y(s)-sr)+2l(sY(s)-1r)+26Y(s) = 26s^2+2s
  • Do lado direito:


    Substituindo:

Passo 4

Juntando termos em (s^2+2s+26),Y(s)-(s+2) = 26s^2+2s Longrightarrow Y(s) = s+2s^2+2s+26 + 2s,(s^2+2s+26) + 26s^2,(s^2+2s+26) :

Passo 5

Agora a ideia é decompor cada fração em termos que a gente já sabe inverter.
  1. . Note que .
    Escreve e separa:
  2. . Faz frações parciais do tipo
    .
  3. . Também frações parciais com
    .
(Fazer os cálculos dá, no final, coeficientes que fazem muita coisa se cancelar.)

Passo 6

Usando a tabela de transformadas inversas:

  • Somando tudo certinho, aparece uma bela simplificação: todas as partes exponenciais com somam zero e os constantes cancelam, sobrando só…

Resposta

boxedy(t)=t + e^-tcos(5t)
E aí tá! y(0)=1 e y′(0)=0 batem direitinho.

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