Questão 3 - (Valor:
pontos)
(b) Use o item (a) para resolver o seguinte problema de valor inicial pelo método das transformadas de Laplace
(b) Use o item (a) para resolver o seguinte problema de valor inicial pelo método das transformadas de Laplace
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes e condição inicial. O enunciado é:
Conteúdo: equações diferenciais e método das transformadas de Laplace.
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- Saber a definição e propriedades da transformada de Laplace, especialmente para derivadas.
- Tabela básica de transformadas (polinômio, exponencial, seno, cosseno).
- Fazer frações parciais e inverter a transformada.
Passo 2
Aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando:
Então, transformando cada termo:
[
\mathcal{L}{y’’} + 2,\mathcal{L}{y’} +26,\mathcal{L}{y}
\mathcal{L}{26t+2}.
]
]
Passo 3
Calcular cada transformada:
-
-
-
- Do lado direito:
Substituindo:
Passo 4
Juntando termos em
:
Passo 5
Agora a ideia é decompor cada fração em termos que a gente já sabe inverter.
-
. Note que .
Escrevee separa:
-
. Faz frações parciais do tipo
. -
. Também frações parciais com
.
(Fazer os cálculos dá, no final, coeficientes que fazem muita coisa se cancelar.)
Passo 6
Usando a tabela de transformadas inversas:
-
-
-
Somando tudo certinho, aparece uma bela simplificação: todas as partes exponenciais comsomam zero e os constantes cancelam, sobrando só…
Resposta
E aí tá! y(0)=1 e y′(0)=0 batem direitinho.