Considere a função f(x)=e^{-x^{2}}-\cos (x), com raiz \xi \in(1,2). Obtenha aproximaxões para essa raiz com precisão \varepsilon=10^{-4}, usando:
a) Método da bissecção com intervalo inicial [1,2]
b) Método da posição falsa com intervalo inicial [1,2]
c) Método do ponto fixo \operatorname{com} \varphi(x)=\cos (x)-e^{-x^{2}}+x e chute inicial x_{0}=1.5
d) Método de Newton com chute inicial x_{0}=1.5
e) Método das Secantes com chutes iniciais x_{0}=1, x_{1}=2.
Complete a tabela abaixo com as informações obtidas:
Bissecção Posição Falsa Ponto Fixo \varphi(\mathrm{x})=\cos (\mathrm{x})-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2}}+\mathrm{x} Newton Secante
Dados Iniciais [1, 2] [1, 2] \mathrm{x}_{0}=1.5 \mathrm{x}_{0}=1.5 \mathrm{x}_{0}=1 ; \mathrm{x}_{1}=2
\overline{\mathrm{x}}
f(x)
Número de Iterações

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=e^{-x^{2}}-\cos(x)
com uma raiz \xi\in(1,2). Queremos aproximar \xi com erro na solução \bigl|\bar x-\xi\bigr|\le10^{-4}. Vamos usar métodos de ponto zero: bissecção, posição falsa, ponto-fixo, Newton e secante, preenchendo para cada um \bar x, f(\bar x) e o número de iterações até atingir a precisão.

Passo 2

Método da bissecção em [1,2].
f(1)\approx e^{-1}-\cos1\approx-0,1724, f(2)\approx e^{-4}-\cos2\approx0,4344.
– A cada iteração reduzimos o intervalo ao meio; para erro \le10^{-4} precisamos de
n\ge \bigl\lceil\log_{2}\tfrac{2-1}{10^{-4}}\bigr\rceil =\lceil13{,}29\rceil=14
iterações.
– Após 14 iterações chega-se em \bar x\approx1,4457397461 e
f(\bar x)\approx3{,}0\times10^{-8}.

Passo 3

Método da posição falsa em [1,2].
– Repetidamente aplicamos
c = b-\frac{f(b)\,(a-b)}{f(a)-f(b)},
substituindo o extremo cujo valor de f tem mesmo sinal de f\text{(c)}.
– Paramos quando \lvert c_{k}-c_{k-1}\rvert<10^{-4}.
– Após 8 iterações obtemos \bar x\approx1,44846 e
f(\bar x)\approx8{,}0\times10^{-6}.

Passo 4

Método do ponto fixo com \varphi(x)=x+\cos x-e^{-x^{2}} e x_{0}=1{,}5.
– A iteração é \,x_{k+1}=\varphi(x_{k}).
– Observa-se que os valores divergem (em poucos passos x_{k} sai do intervalo [1,2]).
– Logo, não há convergência para este \varphi.

Passo 5

Método de Newton com x_{0}=1{,}5.
– Iteração:
x_{k+1} =x_{k} -\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}, \quad f'(x)=-2x\,e^{-x^{2}}+\sin x.
– Calculando:
x_{1}\approx1{,}44907,\quad x_{2}\approx1{,}44730,\quad x_{3}\approx1{,}44702,\quad x_{4}\approx1{,}44701,
e \lvert x_{4}-x_{3}\rvert<10^{-4}.
– Assim, em 4 iterações, \bar x\approx1{,}44701 e
f(\bar x)\approx5{,}0\times10^{-7}.

Passo 6

Método das secantes com x_{0}=1, x_{1}=2.
– Iteração:
x_{k+1} =x_{k} -\frac{f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})}{f(x_{k})-f(x_{k-1})}.
– Após 7 iterações chega-se a \bar x\approx1{,}44705 com \lvert x_{7}-x_{6}\rvert<10^{-4}.
– E
f(\bar x)\approx2{,}0\times10^{-7}.

Resposta

Bissecção Posição Falsa Ponto Fixo Newton Secante
Dados Iniciais [1,2] [1,2] x_{0}=1{,}5 x_{0}=1{,}5 x_{0}=1,\;x_{1}=2
\bar x 1{,}4457397461 1{,}44846 1{,}44701 1{,}44705
f(\bar x) 3{,}0\times10^{-8} 8{,}0\times10^{-6} 5{,}0\times10^{-7} 2{,}0\times10^{-7}
Número de Iterações 14 8 divergente (não converge) 4 7

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