Suponha que sejam fornecidos valores tabelados \left(x_{k}, f\left(x_{k}\right)\right) para uma dada função e busca-se ajustar uma curva \varphi(x) a esses dados utilizando o método dos mínimos quadrados para o ajuste de curva. Qual é a estratégia de linearização deve ser adotada se \varphi(x) tem a forma dada a seguir:
a) \varphi(x)=\alpha_{1} e^{\alpha_{2} x}

Passo 1

Temos dados tabelados \bigl(x_k,f(x_k)\bigr) e queremos ajustar por mínimos quadrados o modelo
\varphi(x)=\alpha_{1}e^{\alpha_{2}x}.
Para usar mínimos quadrados precisamos que o modelo seja linear nos parâmetros. Vamos então buscar uma transformação que torne essa dependência linear.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados de \varphi(x)=\alpha_{1}e^{\alpha_{2}x}. Assim:
\ln\bigl(\varphi(x)\bigr) =\ln\bigl(\alpha_{1}e^{\alpha_{2}x}\bigr) =\ln(\alpha_{1})+\alpha_{2}x.
Definindo
Y_k=\ln\bigl(f(x_k)\bigr),\quad \beta_0=\ln(\alpha_{1}),\quad \beta_1=\alpha_{2},
ficamos com o modelo linear
Y_k \approx \beta_0 + \beta_1\,x_k.
Agora é só aplicar a regressão linear clássica para \{(x_k,Y_k)\}, resolvendo as normais
\begin{pmatrix} n & \sum x_k\\[6pt] \sum x_k & \sum x_k^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\beta_0\\[3pt]\beta_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum Y_k\\[6pt] \sum x_k\,Y_k \end{pmatrix}.
Por fim, recuperamos os parâmetros originais por \alpha_{1}=e^{\beta_{0}} e \alpha_{2}=\beta_{1}.]

Resposta

Linearizar tomando logaritmo natural em f(x_k), ou seja, ajustar por mínimos quadrados o modelo
\ln\bigl(f(x)\bigr)=\beta_{0}+\beta_{1}x,
com \beta_{0}=\ln(\alpha_{1}) e \beta_{1}=\alpha_{2}, e depois obter \alpha_{1}=e^{\beta_{0}}, \alpha_{2}=\beta_{1}.

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