(n+1) nós de interpolação para a função f. Assuma que f possui derivadas até a ordem (n+1) no intervalo \left[x_{0}, x_{n}\right]. Seja p_{n}(x) o polinômio interpolador de f nos pontos x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} e E_{n}(x)=f(x)-p_{n}(x) o erro cometido por tal interpolação. Então, dado qualquer x \in\left[x_{0}, x_{n}\right],
O enunciado cita o Teorema de erro da interpolação de Lagrange, que diz que, para nós de interpolação x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} e polinômio interpolador p_{n}(x), o erro
Ele tem raízes em 0,1,\dots,n. Entre cada par de raízes [m,m+1] existem pontos críticos de Q dados pelas soluções de Q'(z)=0, que ocorrem exatamente em
z = m + \tfrac12,\quad m=0,1,\dots,n-1.
Em cada subintervalo [m,m+1], \lvert Q(z)\rvert atinge máximo apenas ou nos extremos (onde Q=0) ou em z=m+\tfrac12. Logo o supremo de \lvert Q(z)\rvert em [0,n] ocorre num desses pontos médios.
Passo 4
Avalie \lvert Q\rvert\) em \(z=m+\tfrac12\). Como
\[\bigl|(m+\tfrac12)-k\bigr| =\begin{cases} m-k+\tfrac12,&k\le m,\\\ k-m-\tfrac12,&k>m, \end{cases}
Sem perder muita generalidade, toma-se m=\lfloor n/2\rfloor\]. Então cada uma dessas metades de produto pode ser comparada com \(m! e (n-m)! multiplicadas por potências de 2, e obtém-se a desigualdade padrão (pode ser vista em livros de análise numérica)