Considere a função f(x)=e^-x^2-cos (x), com raiz xi in(1,2). Obtenha aproximaxões para essa raiz com precisão varepsilon1=varepsilon2=10^-4, usando: Método do ponto fixo com varphi(x)=cos (x)-e^-x^2+x e chute inicial x0=1.5.

Passo 1

Beleza, saque o que o enunciado tá pedindo: temos a função
f(x)=e^-x^2-cos(x)
e sabemos que ela tem uma raiz xn+1=varphi(xn), varphi(x)=cos(x)-e^-x^2+x, no intervalo . A tarefa é achar essa raiz com precisão usando o Método do Ponto Fixo. No nosso caso a iteração é
e o chute inicial é .
O conteúdo que vamos usar é justamente a teoria do Método do Ponto Fixo: como definir , iterar, e checar o critério de parada.

Passo 2

Por alto, o Método do Ponto Fixo faz você reescrever x=varphi(x) como
xn+1=varphi(xn)
Dai a gente monta a sequência
e itera até que a diferença entre e seja menor que a tolerância , e também até . Se for “bonitinha” (isto é, na região), a sequência converge.

Passo 3

Vamos calcular algumas iterações até satisfazer e :



  1. Diferença:


  2. Diferença:


  3. Diferença:
    Aqui , só falta checar a diferença.


  4. Diferença:
    e continua menor que .
Pronto, no quinto passo já atendemos aos dois critérios.

Resposta

A aproximação da raiz xiapprox1.44865 com pelo Método do Ponto Fixo é

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